证明两个可列集的并为可列集

设 $A$ 和 $B$ 是两个可列集，那么它们各自可以用一个无限序列表示：

$A = \{a_1, a_2, a_3, \ldots\}$

$B = \{b_1, b_2, b_3, \ldots\}$

我们可以构造一个新的无限序列 $C$：

$C = \{a_1, b_1, a_2, b_2, a_3, b_3, \ldots\}$

也就是说，将 $A$ 和 $B$ 中的元素交替排列，可以得到一个新的序列 $C$。显然，$C$ 包含 $A$ 和 $B$ 中的所有元素，因此 $C = A \cup B$。

我们现在需要证明 $C$ 是可列集。为此，可以构造一个双射 $f: \mathbb{N} \rightarrow C$，将自然数映射到 $C$ 中的元素上。具体地，我们可以按照如下方式定义 $f$：

$f(1) = a_1$

$f(2) = b_1$

$f(3) = a_2$

$f(4) = b_2$

$\ldots$

更一般地，对于任意的 $n \in \mathbb{N}$，我们定义：

$f(2n-1) = a_n$

$f(2n) = b_n$

容易验证 $f$ 是一个满射，因为 $C$ 中的每个元素都可以通过 $f$ 的某个输入得到。同时，$f$ 也是一个单射，因为 $C$ 中的每个元素都可以通过唯一的一对输入得到。因此，$f$ 是一个双射。由于 $\mathbb{N}$ 是可列集，因此 $C$ 也是可列集。

相关问题

将两个数据集列合并

可以使用 Pandas 库中的 `concat()` 函数将两个数据集列合并。假设两个数据集为 `df1` 和 `df2`，可以使用以下代码将它们列合并：

import pandas as pd

merged_df = pd.concat([df1, df2], axis=1)

其中，`axis=1` 表示按列合并。如果要按行合并，则将 `axis` 参数设置为 0。合并后的结果存储在 `merged_df` 变量中。

证明两个可测集的交也是可测集

### 回答1：
设 $(\Omega,\mathcal{F})$ 是一个可测空间，$A,B\in \mathcal{F}$ 是两个可测集。我们需要证明 $A\cap B\in \mathcal{F}$。

由于 $A$ 和 $B$ 都是可测集，因此它们的补集 $A^c$ 和 $B^c$ 也是可测集。因为

$$(A\cap B)^c = A^c\cup B^c$$

所以 $(A\cap B)^c$ 是可测集的并集，因此 $(A\cap B)^c$ 是可测集。

由于 $\mathcal{F}$ 是一个 $\sigma$-代数，因此它对补运算和可数并运算封闭，因此 $A\cap B = ((A\cap B)^c)^c$ 是可测集。

因此，两个可测集的交也是可测集。

### 回答2：
我们可以通过引入逐点收敛的序列来证明两个可测集的交也是可测集。

设A和B是两个可测集。我们定义一个序列{An}如下：
An = A ∩ Bn for n = 1, 2, 3, ...
其中，Bn = B × [-n, n]，即将集合B沿着y轴方向扩展至区间[-n, n]。

由于A和B都是可测集，根据可测集的定义，可以得到An是可测集。而Bn作为有限个可测集的笛卡尔积，亦是可测集。因此，An是可测集的交。

接下来，我们需要证明{An}是逐点收敛的。即对于任意x，当n趋于无穷大时，An(x)收敛至A(x) ∩ B(x)，其中An(x)表示序列中第n个集合An中包含x的情况，A(x)与B(x)分别表示集合A和B中包含x的情况。

对于x，若x在An中，则x同时在A和Bn中，且由于Bn逐渐扩展，当n趋于无穷大时，x一定在B中。因此，当n趋于无穷大时，An(x) = A(x) ∩ B(x)。

根据逐点收敛的定义，我们可以得出交集A ∩ B = lim(n→∞) An是可测集。

综上所述，我们证明了两个可测集的交也是可测集。