最速下降法线性方程组matlab误差图

下面是使用最速下降法求解线性方程组的Matlab代码，并绘制误差图的示例：

% 定义线性方程组
A = [4 -1 0; -1 4 -1; 0 -1 4];
b = [15; 10; 10];

% 定义迭代初始值和精度要求
x0 = [0; 0; 0];
epsilon = 1e-6;

% 最速下降法求解
x = x0;
r = b - A*x;
err = norm(r);
err_list = [err];
while err > epsilon
    alpha = (r'*r) / (r'*A*r);
    x = x + alpha*r;
    r = b - A*x;
    err = norm(r);
    err_list = [err_list err];
end

% 绘制误差图
semilogy(1:length(err_list), err_list);
xlabel('迭代次数');
ylabel('误差');
title('最速下降法求解线性方程组误差图');

其中，`err_list`记录了每次迭代的误差大小，使用`semilogy`函数绘制误差图。

相关问题

最速下降法求解线性方程组matlab代码

下面是最速下降法求解线性方程组的Matlab代码实现：

% 定义系数矩阵A和常数向量b
A = [4 -1 0; -1 4 -1; 0 -1 4];
b = [15; 10; 10];

% 定义初始点x0和最大迭代次数
x0 = [0; 0; 0];
max_iter = 100;

% 定义最速下降法迭代
for i = 1:max_iter
    % 计算梯度
    grad = A*x0 - b;
    
    % 计算迭代步长
    alpha = (grad'*grad)/(grad'*A*grad);
    
    % 计算下一个点
    x1 = x0 - alpha*grad;
    
    % 判断是否收敛
    if norm(x1-x0) < 1e-6
        break;
    end
    
    % 更新x0
    x0 = x1;
end

% 输出结果
disp(['迭代次数：' num2str(i)]);
disp(['最优解：' num2str(x0')]);

在这个例子中，我们使用最速下降法求解线性方程组 $Ax=b$，其中 $A$ 是系数矩阵，$b$ 是常数向量。在代码中，我们首先定义了系数矩阵 $A$ 和常数向量 $b$，然后定义了初始点 $x_0$ 和最大迭代次数。接下来，我们使用一个 for 循环进行最速下降法的迭代，直到满足收敛条件为止。最后，我们输出了迭代次数和最优解。

需要注意的是，这里我们没有输出最优值，因为求解线性方程组的最优值是固定的，即 $f(x)=\frac{1}{2}x^TAx-b^Tx+\frac{1}{2}b^Tb$ 的最小值为 $-\frac{1}{2}b^T(A^{-1})b$。

最速下降法法求解线性方程组Matlab

最速下降法是一种求解线性方程组的迭代方法，其基本思想是在每次迭代中沿着当前残差的负梯度方向进行下降，从而逐步减小残差。使用Matlab可以很方便地实现最速下降法求解线性方程组，代码如下：

function [x, k] = SD(A, b, x0, tol, maxit)
% A: 系数矩阵
% b: 右端向量
% x0: 初始向量
% tol: 迭代精度
% maxit: 最大迭代次数
% x: 迭代解
% k: 迭代次数

n = length(b);
x = x0;
r = b - A * x;
k = 0;
while k < maxit && norm(r) > tol
    alpha = r' * r / (r' * A * r);
    x = x + alpha * r;
    r = b - A * x;
    k = k + 1;
end
end

其中，A表示系数矩阵，b表示右端向量，x0表示初始向量，tol表示迭代精度，maxit表示最大迭代次数，x表示迭代解，k表示迭代次数。运行该函数即可得到最终的解x和迭代次数k。需要注意的是，最速下降法求解线性方程组的收敛速度较慢，一般只用于求解稀疏矩阵或者对精度要求不高的情况下。