解释数学中群、环以及域
时间: 2023-08-31 11:49:10 浏览: 125
在数学中,群、环和域是三种基本的代数结构,它们都与数学中的运算有关。
1. 群:群是一个非空集合 G,配合一个二元运算“·”(通常称为群乘法),满足以下四个条件:
(1)封闭性:对于任意 a、b∈G,a·b∈G。
(2)结合律:对于任意 a、b、c∈G,有 (a·b)·c=a·(b·c)。
(3)单位元:存在一个元素 e∈G,使得对于任意 a∈G,有 a·e=e·a=a。
(4)逆元:对于任意 a∈G,存在一个元素 a^(-1)∈G,使得 a·a^(-1)=a^(-1)·a=e。
群的运算具有封闭性、结合律、单位元和逆元四个基本性质,是一种具有良好代数性质的数学结构。
2. 环:环是一个非空集合 R,配合两个二元运算“+”(通常称为环加法)和“·”(通常称为环乘法),满足以下四个条件:
(1)R 在加法下构成一个交换群。
(2)乘法对加法具有分配律,即对于任意 a、b、c∈R,有 a·(b+c)=a·b+a·c 和 (a+b)·c=a·c+b·c。
(3)乘法具有结合律,即对于任意 a、b、c∈R,有 (a·b)·c=a·(b·c)。
(4)存在一个元素 1∈R,使得对于任意 a∈R,有 a·1=1·a=a。
环是一种比群更一般的代数结构,它具有加法和乘法两个运算,可以用来研究各种数学问题。
3. 域:域是一个非空集合 F,配合两个二元运算“+”(通常称为域加法)和“·”(通常称为域乘法),满足以下四个条件:
(1)F 在加法下构成一个交换群。
(2)F\{0} 在乘法下构成一个交换群。
(3)乘法对加法具有分配律,即对于任意 a、b、c∈F,有 a·(b+c)=a·b+a·c 和 (a+b)·c=a·c+b·c。
(4)存在一个元素 1∈F,使得对于任意 a∈F,有 a·1=1·a=a。
域是一种比环更具有代数性质的数学结构,它具有加法和乘法两个运算,并且除数不为零。域是代数学、数论和几何学等领域中的基本概念。