群、子群、陪集、商集、正规子群、环、域的基本概念。

这些概念都是抽象代数学中的基本概念。

1. 群：一个群就是一个集合，其中包含了一些元素以及对这些元素进行操作的规则。这些规则必须满足一些基本的性质，比如封闭性、结合律、单位元素和逆元素等等。

2. 子群：如果一个集合中的部分元素以及对这些元素进行操作的规则满足群的定义，则称这个集合为原群的子群。

3. 陪集：一个陪集是指在一个群中，选定一个子群以及一个元素，然后用这个元素作为起点，对子群中的每个元素进行群操作得到的结果所组成的集合。

4. 商集：在一个群中，选定一个子群，将所有元素两两划分为若干个等价类，则这些等价类所组成的集合就是商集。

5. 正规子群：如果一个子群在原群的群操作下是不变的，那么这个子群就是原群的正规子群。

6. 环：一个环就是一个集合，其中包含了两个二元运算符和一些基本的性质，比如封闭性、交换律、结合律、单位元素和逆元素等等。

7. 域：一个域就是一个环，其中除了加法和乘法之外还有一些特殊的性质，比如存在乘法逆元素、分配律等等。

相关问题

1、群、子群、陪集、商集、正规子群、环、域的基本概念。

群、子群、陪集、商集、正规子群、环、域是抽象代数中的基本概念，具体解释如下：

1. 群：群是一个非空集合，其中定义了一个二元运算，满足封闭性、结合律、存在单位元、存在逆元等四个公理。

2. 子群：如果一个集合在同一种运算下构成一个群，那么这个集合就是这个群的一个子群。

3. 陪集：设 G 是一个群，H 是 G 的一个子群，a 是 G 的一个元素，则 aH={ah|h∈H} 是 a 在 H 中的左陪集，Ha={ha|h∈H} 是 a 在 H 中的右陪集。

4. 商集：设 G 是一个群，N 是 G 的一个正规子群，则 G/N 是由 G 中所有左陪集 aN 组成的集合。

5. 正规子群：如果一个子群 H 满足对于任意元素 g 属于 G，gH=Hg，那么 H 就是 G 的一个正规子群。

6. 环：设 R 是一个非空集合，其中定义了两个二元运算 + 和 ×，则 R 是一个环，当它满足加法和乘法同构于整数加法和乘法时。

7. 域：域是一个具有加法和乘法两种运算的代数系统，其中加法和乘法满足一些特定的条件，例如满足结合律、分配律、存在单位元和逆元等。常见的例子包括有理数、实数、复数等。

N是群G的正规子群，则商群G/N的阶整除群G的阶是对的还是错的

这个说法是正确的。如果 N 是群 G 的正规子群，则商群 G/N 的阶整除群 G 的阶。

设 G 的阶为 |G|，G/N 的阶为 |G/N|，则有：

|G/N| = |G| / |N|

由于 N 是 G 的正规子群，因此 G/N 是一个群，并且每个陪集的元素个数都等于 |N|。因此，G/N 中共有 |G/N| 个元素，每个元素都由 |N| 个元素组成。因此，G 中共有 |G/N| × |N| 个元素。

另一方面，G 中的每个元素都属于某个陪集，因此 G 中共有 |G/N| 个陪集。由于 N 是正规子群，G/N 中的每个陪集都是一个左陪集和一个右陪集的并集，因此 G/N 中的每个陪集中元素的个数都等于 |N|。因此，G 中共有 |G/N| × |N| 个元素。

因此，有 |G/N| × |N| = |G|，即 |G/N| = |G| / |N|。由于 |G/N| 和 |N| 都是正整数，因此 |G/N| 整除 |G|。

综上所述，如果 N 是群 G 的正规子群，则商群 G/N 的阶整除群 G 的阶。