lasso问题 次梯度求解

Lasso（Least Absolute Shrinkage and Selection Operator）问题是一种线性回归问题，它在优化目标函数时加入了L1正则化项，可以用于特征选择和模型压缩等应用场景。Lasso问题的目标函数可以表示为：

$$\min_{\boldsymbol{w}} \frac{1}{2n}||\boldsymbol{X}\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y}||_2^2 + \lambda||\boldsymbol{w}||_1$$

其中，$\boldsymbol{X}$是大小为$n \times m$的矩阵，表示$n$个样本的$m$个特征，$\boldsymbol{y}$是长度为$n$的向量，表示样本的真实标签，$\boldsymbol{w}$是长度为$m$的向量，表示模型的参数，$\lambda$是正则化参数。

Lasso问题的次梯度求解可以通过以下步骤实现：

1. 初始化参数$\boldsymbol{w}$，例如可以将所有参数初始化为0。

2. 计算目标函数的梯度$\nabla ||\boldsymbol{X}\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y}||_2^2$，并将其分解为次梯度。对于L1正则化项，其次梯度可以表示为：

$$\partial ||\boldsymbol{w}||_1 = \begin{cases} sign(w_i), & w_i \neq 0 \\ [-1,1], & w_i=0 \end{cases}$$

其中，$sign(w_i)$是$w_i$的符号函数。

3. 选择一个次梯度$g$，根据次梯度下降算法的更新公式更新参数$\boldsymbol{w}$：

$$\boldsymbol{w}^{(t+1)} = \boldsymbol{w}^{(t)} - \eta_t g$$

其中，$\eta_t$是学习率，可以根据具体问题和实验结果进行调整。

4. 重复步骤2和步骤3，直到满足停止条件，例如达到预设的最大迭代次数或者参数变化小于一定阈值。

需要注意的是，Lasso问题的次梯度求解可能会陷入局部最优解，因此可以采用多次随机初始化的方式来提高求解的效果。此外，还可以采用加速次梯度法（Accelerated Subgradient Method）等更高级的算法来优化Lasso问题。