已知一个三阶矩阵A,第一行为1 2 2，第二行为2 1 -2，第三行为-2 -2 1求出该矩阵的特征值和对应的的特征向量

为了求出该矩阵的特征值和对应的特征向量，我们需要先求出该矩阵的特征多项式和特征方程。

特征多项式等于 |A-λI|，其中 λ 是特征值，I 是单位矩阵。

首先，我们有：

A-λI =

\begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 \\
2 & 1 & -2 \\
-2 & -2 & 1 \\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
λ & 0 & 0 \\
0 & λ & 0 \\
0 & 0 & λ \\
\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}
1-λ & 2 & 2 \\
2 & 1-λ & -2 \\
-2 & -2 & 1-λ \\
\end{bmatrix}

然后，我们需要计算行列式 |A-λI|，即：

|A-λI| = (1-λ)

\begin{vmatrix}
1-λ & -2 \\
-2 & 1-λ \\
\end{vmatrix}

+ 2

\begin{vmatrix}
2 & 2 \\
-2 & 1-λ \\
\end{vmatrix}

+ 2

\begin{vmatrix}
2 & 1-λ \\
-2 & -2 \\
\end{vmatrix}

= (1-λ) [(1-λ)^2 - 4] - 4[4+4(λ-1)] + 4[2λ+4]

= λ^3 - λ^2 - 15λ + 9

这就是该矩阵的特征多项式。我们可以将其设置为 0，即 λ^3 - λ^2 - 15λ + 9 = 0，然后求解得到特征值。

通过试除法，我们可以得到 λ = -3 和 λ = 1 是该多项式的两个根。我们可以使用多项式除法来计算第三个根。

将 λ = -3 代入 A-λI，我们得到：

A-(-3)I =

\begin{bmatrix}
4 & 2 & 2 \\
2 & 4 & -2 \\
-2 & -2 & 4 \\
\end{bmatrix}

通过高斯消元法，我们得到该矩阵的秩为 2，因此，-3 是一个二重特征值。

现在，我们需要求解特征向量。对于 λ = -3，我们需要求解方程组 (A-(-3)I)x = 0。将 λ = -3 和 A-(-3)I 代入方程组，我们得到：

\begin{bmatrix}
4 & 2 & 2 \\
2 & 4 & -2 \\
-2 & -2 & 4 \\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z \\
\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
\end{bmatrix}

通过高斯消元法，我们得到方程组的通解为：

\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z \\
\end{bmatrix}

=

t

\begin{bmatrix}
1 \\
-1 \\
0 \\
\end{bmatrix}

+

s

\begin{bmatrix}
-1 \\
0 \\
1 \\
\end{bmatrix}

这就是 λ = -3 对应的特征向量。

现在，我们来求解 λ = 1 对应的特征向量。将 λ = 1 代入 A-λI，我们得到：

A-(1)I =

\begin{bmatrix}
0 & 2 & 2 \\
2 & 0 & -2 \\
-2 & -2 & 0 \\
\end{bmatrix}

同样通过高斯消元法，我们得到该矩阵的秩为 2，因此，1 是一个二重特征值。

现在，我们需要求解方程组 (A-(1)I)x = 0。将 λ = 1 和 A-(1)I 代入方程组，我们得到：

\begin{bmatrix}
0 & 2 & 2 \\
2 & 0 & -2 \\
-2 & -2 & 0 \\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z \\
\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
\end{bmatrix}

通过高斯消元法，我们得到方程组的通解为：

\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z \\
\end{bmatrix}

=

t

\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
-2 \\
\end{bmatrix}

+

s

\begin{bmatrix}
-1 \\
1 \\
0 \\
\end{bmatrix}

这就是 λ = 1 对应的特征向量。

因此，该矩阵的特征值为 -3, -3, 1，对应的特征向量为：

\begin{bmatrix}
1 \\
-1 \\
0 \\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
-1 \\
0 \\
1 \\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
-2 \\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
-1 \\
1 \\
0 \\
\end{bmatrix}