已知 A是4阶可逆方阵,且将A的第二行与第三行交换可以得到矩阵 b.则满足A=QB的可逆矩阵 Q为( ).
时间: 2024-04-02 14:37:44 浏览: 29
设矩阵 $Q$ 将矩阵 $A$ 的第二行与第三行交换得到矩阵 $B$,即:
$$Q\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{pmatrix}$$
我们可以将矩阵 $Q$ 表示为三次初等矩阵的乘积:
$$Q = P_{23}P_{32}P_{23}$$
其中 $P_{ij}$ 表示将单位矩阵的第 $i$ 行与第 $j$ 行交换的初等矩阵。
因为 $A$ 是可逆方阵,所以 $A$ 的行向量组线性无关,即 $A$ 可以通过行初等变换化为单位矩阵 $I$,即存在一系列的初等矩阵 $E_1,E_2,\ldots,E_k$,使得:
$$E_k E_{k-1} \cdots E_2 E_1 A = I$$
因此,我们可以得到:
$$\begin{aligned} Q A &= P_{23}P_{32}P_{23}A \\ &= P_{23}P_{32}I \\ &= P_{23}P_{32}E_k E_{k-1} \cdots E_2 E_1 A \\ &= P_{23}P_{32}E_k E_{k-1} \cdots E_2 I \\ &= P_{23}P_{32}E_k E_{k-1} \cdots E_3 P_{23}P_{32} E_2 E_1 I \\ &= P_{23}P_{32}E_k E_{k-1} \cdots E_3 P_{23}P_{32} E_2 P_{23}P_{32} E_1 I \\ &= B \end{aligned}$$
其中,$B$ 是将 $A$ 的第二行与第三行交换得到的矩阵。
因为初等矩阵都是可逆矩阵,所以 $E_1,E_2,\ldots,E_k$ 都是可逆矩阵,$Q$ 也是可逆矩阵。
因此,满足 $A=QB$ 的可逆矩阵 $Q$ 可以表示为:
$$Q = P_{23}P_{32}P_{23}$$