设A为n阶方阵,且A平方-A-E=0,则(A-E)的逆是多少
时间: 2024-06-03 17:06:47 浏览: 11
由已知条件得:$A^2-A-E=0$
将等式两边同时加上$E$,得:
$$A^2-A=E$$
将等式两边同时乘以$(A-E)$,得:
$$(A-E)A^2-(A-E)A=E(A-E)$$
化简得:
$$(A-E)(A^2-A-E)=0$$
由已知条件得:$A^2-A-E=0$,代入上式得:
$$(A-E)(-A)=0$$
所以,$A=E$ 或 $(A-E)$ 为非奇异矩阵,即$(A-E)$可逆。
由$(A-E)(A+E)=A^2-E^2-A-E=0$,可得$(A+E)=(A-E)^{-1}$。
所以,$(A-E)^{-1}=A+E$。
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设A是n阶方阵,则A-E一定是对称矩阵. 正确吗
设 $A$ 是 $n$ 阶方阵,$E$ 是 $n$ 阶单位矩阵。
矩阵 $A-E$ 的转置为 $(A-E)^T = A^T - E$。
要判断矩阵 $A-E$ 是否为对称矩阵,只需判断 $(A-E)^T = A^T - E$ 是否等于 $A-E$。
即判断 $A^T - E = A - E$ 是否成立。
对此式变形,得到 $A^T = A$。
如果矩阵 $A$ 是一个对称矩阵,则有 $A^T = A$。
因此,当且仅当矩阵 $A$ 是对称矩阵时,矩阵 $A-E$ 才是对称矩阵。
因此,结论“设 $A$ 是 $n$ 阶方阵,$A-E$ 不一定是对称矩阵”是正确的。
设n为奇数,A 为n阶方阵,证明|A-A^T|=0
首先,我们知道 $A^T$ 表示矩阵 $A$ 的转置矩阵,即将矩阵 $A$ 沿其主对角线翻转得到的矩阵。因此,$A-A^T$ 表示矩阵 $A$ 与其转置矩阵的差。
我们需要证明当 $n$ 为奇数时,$|A-A^T|=0$,也就是说,$A-A^T$ 的行列式为0。
根据行列式的定义,$|A-A^T|$ 可以表示为 $A-A^T$ 的特征值的乘积。因此,我们只需要证明 $A-A^T$ 至少存在一个特征值为0。
假设矩阵 $A$ 的一个特征值为 $\lambda$,对应的特征向量为 $x$,则有 $Ax=\lambda x$。同时,由于 $A$ 为实矩阵,因此 $x^T$ 也是 $A$ 的特征向量,且对应的特征值也为 $\lambda$。因此,我们有:
$$(A-A^T)x=Ax-(A^T)x=\lambda x-\lambda x=0$$
因此,$A-A^T$ 至少存在一个特征值为0,其对应的特征向量为 $x$。因此,$|A-A^T|=0$,证毕。
因此,当矩阵 $A$ 为奇数阶方阵时,$|A-A^T|=0$。