8.设n阶方阵A满足:A2-A-2E=0,证明:A和 A+2E 都可逆.
时间: 2023-05-12 07:07:40 浏览: 120
首先,我们可以将原式重写为 A2 = A-2E。然后,我们可以将 A2 代入原式,得到 A(A-2E) - A-2E = 0,即 A(A-2E+A-1E) = E。因此,A 可逆,且 A-1 = A-2 + E。同样地,我们可以将 A 代入原式,得到 A2 - A-2E = 0,即 A(A+A-2E) = 2E。因此,A-2E 可逆,且 (A-2E)-1 = 1/2A。因此,A 和 A-2E 都可逆。
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设n为奇数,A 为n阶方阵,证明|A-A^T|=0
首先,我们知道 $A^T$ 表示矩阵 $A$ 的转置矩阵,即将矩阵 $A$ 沿其主对角线翻转得到的矩阵。因此,$A-A^T$ 表示矩阵 $A$ 与其转置矩阵的差。
我们需要证明当 $n$ 为奇数时,$|A-A^T|=0$,也就是说,$A-A^T$ 的行列式为0。
根据行列式的定义,$|A-A^T|$ 可以表示为 $A-A^T$ 的特征值的乘积。因此,我们只需要证明 $A-A^T$ 至少存在一个特征值为0。
假设矩阵 $A$ 的一个特征值为 $\lambda$,对应的特征向量为 $x$,则有 $Ax=\lambda x$。同时,由于 $A$ 为实矩阵,因此 $x^T$ 也是 $A$ 的特征向量,且对应的特征值也为 $\lambda$。因此,我们有:
$$(A-A^T)x=Ax-(A^T)x=\lambda x-\lambda x=0$$
因此,$A-A^T$ 至少存在一个特征值为0,其对应的特征向量为 $x$。因此,$|A-A^T|=0$,证毕。
因此,当矩阵 $A$ 为奇数阶方阵时,$|A-A^T|=0$。
设A是n阶方阵,则A-E一定是对称矩阵. 正确吗
设 $A$ 是 $n$ 阶方阵,$E$ 是 $n$ 阶单位矩阵。
矩阵 $A-E$ 的转置为 $(A-E)^T = A^T - E$。
要判断矩阵 $A-E$ 是否为对称矩阵,只需判断 $(A-E)^T = A^T - E$ 是否等于 $A-E$。
即判断 $A^T - E = A - E$ 是否成立。
对此式变形,得到 $A^T = A$。
如果矩阵 $A$ 是一个对称矩阵,则有 $A^T = A$。
因此,当且仅当矩阵 $A$ 是对称矩阵时,矩阵 $A-E$ 才是对称矩阵。
因此,结论“设 $A$ 是 $n$ 阶方阵,$A-E$ 不一定是对称矩阵”是正确的。