请证明n阶方阵A^2特征值大于等于0
时间: 2023-04-08 20:01:45 浏览: 88
对于这个问题,我可以回答。根据矩阵特征值的定义,如果一个矩阵的特征值都大于等于0,那么这个矩阵就是半正定矩阵。而对于一个n阶方阵A,A^2也是一个n阶方阵,因此如果A^2的特征值都大于等于0,那么A^2就是一个半正定矩阵。根据矩阵特征值的性质,A^2的特征值是A的特征值的平方,因此如果A的特征值都大于等于0,那么A^2的特征值也都大于等于0。因此,n阶方阵A^2的特征值大于等于0。
相关问题
设n为奇数,A 为n阶方阵,证明|A-A^T|=0
首先,我们知道 $A^T$ 表示矩阵 $A$ 的转置矩阵,即将矩阵 $A$ 沿其主对角线翻转得到的矩阵。因此,$A-A^T$ 表示矩阵 $A$ 与其转置矩阵的差。
我们需要证明当 $n$ 为奇数时,$|A-A^T|=0$,也就是说,$A-A^T$ 的行列式为0。
根据行列式的定义,$|A-A^T|$ 可以表示为 $A-A^T$ 的特征值的乘积。因此,我们只需要证明 $A-A^T$ 至少存在一个特征值为0。
假设矩阵 $A$ 的一个特征值为 $\lambda$,对应的特征向量为 $x$,则有 $Ax=\lambda x$。同时,由于 $A$ 为实矩阵,因此 $x^T$ 也是 $A$ 的特征向量,且对应的特征值也为 $\lambda$。因此,我们有:
$$(A-A^T)x=Ax-(A^T)x=\lambda x-\lambda x=0$$
因此,$A-A^T$ 至少存在一个特征值为0,其对应的特征向量为 $x$。因此,$|A-A^T|=0$,证毕。
因此,当矩阵 $A$ 为奇数阶方阵时,$|A-A^T|=0$。
c语言编写求n阶方阵的行列式的值
可以使用递归的方法来求解n阶方阵的行列式的值。具体步骤如下:
1. 如果矩阵的阶数为1,则行列式的值就是该矩阵中唯一元素的值。
2. 如果矩阵的阶数大于1,则可以选取第一行或第一列作为展开元素,假设选取了第一行。然后对于每个元素a[1][j],构造一个(n-1)阶子矩阵A',其中A'是将第一行和第j列删除后的子矩阵。
3. 对于每个元素a[1][j],计算其代数余子式A[1][j],即A[1][j] = (-1)^(1+j) * det(A'),其中det(A')表示A'的行列式的值。
4. 根据展开元素所在的行列的奇偶性,将所有代数余子式的值相加,得到矩阵的行列式的值。
下面是用C语言实现求解矩阵行列式的代码:
```
#include <stdio.h>
#define MAXN 100
// 求矩阵的行列式
double det(double a[][MAXN], int n)
{
double ans = 0;
if (n == 1) {
ans = a[0][0];
} else {
double temp[MAXN][MAXN];
int sign = 1;
for (int k = 0; k < n; k++) {
int i, j;
for (i = 1; i < n; i++) {
for (j = 0; j < k; j++) {
temp[i - 1][j] = a[i][j];
}
for (j = k + 1; j < n; j++) {
temp[i - 1][j - 1] = a[i][j];
}
}
double subdet = det(temp, n - 1);
ans += sign * a[0][k] * subdet;
sign = -sign;
}
}
return ans;
}
int main()
{
double a[MAXN][MAXN];
int n;
printf("请输入矩阵的阶数n:");
scanf("%d", &n);
printf("请输入矩阵的元素:\n");
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
scanf("%lf", &a[i][j]);
}
}
printf("矩阵的行列式的值为:%lf\n", det(a, n));
return 0;
}
```
这里使用了一个名为det的函数来计算矩阵的行列式,该函数使用了递归的方法实现。在主函数中,用户需要输入矩阵的阶数和元素,程序会输出矩阵的行列式的值。
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