四阶可逆方阵A的各行元素之和为 k,则k一定是A的转置矩阵的特征值.正确吗

设 $A$ 是一个 $4\times 4$ 的可逆矩阵，其各行元素之和为 $k$。

则 $A$ 的转置矩阵 $A^T$ 的各列元素之和也为 $k$。

由矩阵乘法的性质，若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，$\mathbf{v}$ 是对应的特征向量，则有：

$$A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$$

两边同时取每行元素之和，得到：

$$\sum_{i=1}^4 \sum_{j=1}^4 a_{i,j}v_j = \lambda \sum_{i=1}^4 v_i$$

因为矩阵 $A$ 的各行元素之和为 $k$，即 $\sum_{j=1}^4 a_{i,j} = k$，所以：

$$k \sum_{j=1}^4 v_j = \lambda \sum_{i=1}^4 v_i$$

即：

$$k\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$$

这表明，若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $\lambda$ 也是 $A^T$ 的特征值。

因此，结论“四阶可逆方阵 $A$ 的各行元素之和为 $k$，则 $k$ 是 $A$ 的转置矩阵 $A^T$ 的特征值”是正确的。

相关问题

已知 A是4阶可逆方阵,且将A的第二行与第三行交换可以得到矩阵 b.则满足A=QB的可逆矩阵 Q为( ).

设矩阵 $Q$ 将矩阵 $A$ 的第二行与第三行交换得到矩阵 $B$，即：

$$Q\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{pmatrix}$$

我们可以将矩阵 $Q$ 表示为三次初等矩阵的乘积：

$$Q = P_{23}P_{32}P_{23}$$

其中 $P_{ij}$ 表示将单位矩阵的第 $i$ 行与第 $j$ 行交换的初等矩阵。

因为 $A$ 是可逆方阵，所以 $A$ 的行向量组线性无关，即 $A$ 可以通过行初等变换化为单位矩阵 $I$，即存在一系列的初等矩阵 $E_1,E_2,\ldots,E_k$，使得：

$$E_k E_{k-1} \cdots E_2 E_1 A = I$$

因此，我们可以得到：

$$\begin{aligned} Q A &= P_{23}P_{32}P_{23}A \\ &= P_{23}P_{32}I \\ &= P_{23}P_{32}E_k E_{k-1} \cdots E_2 E_1 A \\ &= P_{23}P_{32}E_k E_{k-1} \cdots E_2 I \\ &= P_{23}P_{32}E_k E_{k-1} \cdots E_3 P_{23}P_{32} E_2 E_1 I \\ &= P_{23}P_{32}E_k E_{k-1} \cdots E_3 P_{23}P_{32} E_2 P_{23}P_{32} E_1 I \\ &= B \end{aligned}$$

其中，$B$ 是将 $A$ 的第二行与第三行交换得到的矩阵。

因为初等矩阵都是可逆矩阵，所以 $E_1,E_2,\ldots,E_k$ 都是可逆矩阵，$Q$ 也是可逆矩阵。

因此，满足 $A=QB$ 的可逆矩阵 $Q$ 可以表示为：

$$Q = P_{23}P_{32}P_{23}$$

设 A 为 3 阶可逆矩阵，且|A|=2,则|-A*|=().

根据引用[1]和引用的信息，我们可以得出以下结论：
- 设 A 为 n 阶实对称矩阵，满足 A^2 = A，且 A 的秩为 r。
- 行列式 det(2E - A) 的值等于 (-1)^(n-r) * 2^(n-r) * det(B)，其中 B 是 A 的标准型矩阵。
- 根据引用中的信息，标准型矩阵 B 可以表示为 P^(-1) * A * P，其中 P 是一个可逆矩阵，且 B 的形式为 [E_r 0; 0 0]，其中 E_r 是 r 阶单位矩阵。

根据题目中的信息，设 A 为 3 阶可逆矩阵，且 |A| = 2。我们可以得出以下结论：
-1) * A * P| = |P^(-1)| * |A| * |P| = |A| * |P^(-1)| * |P| = |P^(-1) * P| = |E| = 1。
- 因此，|A| = 2 = 1，这是一个矛盾的结论。

所以，题目中的条件是不成立的，无法求出 |-A*| 的值。