四阶可逆方阵A的各行元素之和为 k,则k一定是A的转置矩阵的特征值.正确吗

设 $A$ 是一个 $4\times 4$ 的可逆矩阵，其各行元素之和为 $k$。

则 $A$ 的转置矩阵 $A^T$ 的各列元素之和也为 $k$。

由矩阵乘法的性质，若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，$\mathbf{v}$ 是对应的特征向量，则有：

$$A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$$

两边同时取每行元素之和，得到：

$$\sum_{i=1}^4 \sum_{j=1}^4 a_{i,j}v_j = \lambda \sum_{i=1}^4 v_i$$

因为矩阵 $A$ 的各行元素之和为 $k$，即 $\sum_{j=1}^4 a_{i,j} = k$，所以：

$$k \sum_{j=1}^4 v_j = \lambda \sum_{i=1}^4 v_i$$

即：

$$k\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$$

这表明，若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $\lambda$ 也是 $A^T$ 的特征值。

因此，结论“四阶可逆方阵 $A$ 的各行元素之和为 $k$，则 $k$ 是 $A$ 的转置矩阵 $A^T$ 的特征值”是正确的。