已知a与b相似,若a为三阶矩阵,且|2a|=24,|b*|=
时间: 2023-04-08 17:01:06 浏览: 79
我可以回答这个问题。根据题意,我们可以得到:
|2a|=24
即
|a|=12
因为a与b相似,所以它们有相同的特征值。设a的特征值为λ,则有:
|a-λI|=0
因为a是三阶矩阵,所以它有三个特征值。设它们分别为λ1,λ2,λ3,则有:
λ1+λ2+λ3=Tr(a)
λ1λ2+λ1λ3+λ2λ3=det(a)
根据题意,我们知道:
|b*|=|b|=2|a|=24
因为b与a相似,所以它们有相同的特征值。设b的特征值为μ,则有:
|b-μI|=0
因为b是三阶矩阵,所以它有三个特征值。设它们分别为μ1,μ2,μ3,则有:
μ1+μ2+μ3=Tr(b)
μ1μ2+μ1μ3+μ2μ3=det(b)
根据相似矩阵的性质,我们知道:
Tr(b)=Tr(a)=λ1+λ2+λ3
det(b)=det(a)=λ1λ2λ3
因此,我们可以得到:
μ1+μ2+μ3=λ1+λ2+λ3=Tr(a)=12
μ1μ2+μ1μ3+μ2μ3=λ1λ2λ3=det(a)=144
又因为:
|b*|=2|a|=24
所以:
μ1μ2μ3=12
现在我们有了μ1,μ2,μ3的值,我们可以计算出b的行列式:
det(b)=(μ1-λ)(μ2-λ)(μ3-λ)
将λ取为μ1,μ2,μ3中的一个,代入上式,就可以得到b的行列式。因为b是三阶矩阵,所以它有三个行列式。设它们分别为d1,d2,d3,则有:
d1=(μ1-λ1)(μ2-λ1)(μ3-λ1)
d2=(μ1-λ2)(μ2-λ2)(μ3-λ2)
d3=(μ1-λ3)(μ2-λ3)(μ3-λ3)
因此,我们可以得到b的行列式:
det(b)=d1+d2+d3
至此,我们就得到了b的行列式。