λ(M)为矩阵M的最大特征值,对于矩阵A和B,|λ(AB)|/|λ(B)|=|λ(A)|吗
时间: 2023-11-01 08:58:18 浏览: 72
对于矩阵A和B,不一定有 |λ(AB)|/|λ(B)|=|λ(A)| 成立。这个等式只在特定条件下成立。
一般来说,对于矩阵A和B,等式 |λ(AB)|/|λ(B)|=|λ(A)| 可能不成立。因为特征值的绝对值不一定满足矩阵乘法的简单规则。
然而,如果矩阵A和B是可交换的(即AB = BA),那么 |λ(AB)|/|λ(B)|=|λ(A)| 成立。在这种情况下,A和B具有相同的特征向量,它们的特征值绝对值比例保持不变。
所以,对于一般的矩阵A和B,不能简单地断定 |λ(AB)|/|λ(B)|=|λ(A)|,除非已知它们是可交换的。
相关问题
特征值和特征向量|A|=λ1λ2λ3 证明
特征值和特征向量是矩阵代数中的重要概念。对于一个n×n的方阵A,如果存在一个非零向量v使得Av=λv,其中λ是一个标量,那么λ就是A的特征值,v就是对应于特征值λ的特征向量。
证明特征值和特征向量的性质可以通过以下步骤进行:
1. 假设v是A的特征向量,对应的特征值是λ。则有Av=λv。
2. 将等式两边同时左乘A的逆矩阵A^(-1),得到A^(-1)Av=A^(-1)λv。
3. 由于A^(-1)A=I(单位矩阵),所以等式变为Iv=λA^(-1)v。
4. 由于Iv=v,所以得到v=λA^(-1)v。
5. 这意味着v和λA^(-1)v是相等的向量。由于λ是一个标量,所以可以将其提取出来,得到v=λA^(-1)v=λ(A^(-1)v)。
6. 由于(A^(-1)v)是一个向量,所以可以将其表示为w,即v=λw。
7. 这表明特征向量v是由特征值λ和向量w的乘积得到的。
综上所述,特征值和特征向量的性质可以通过上述证明得到。
2. 设 为矩阵A∈Cmxn的特征值,证明|λ|≤√(m&||A||^m )
对于矩阵A的特征值λ,我们有如下不等式:
|λ|^m = |λ|^m * 1 * 1 * ... * 1
<= |λ|^m * |A - λI| * |A - λI| * ... * |A - λI|
= |(A - λI)^m|
<= ||A - λI||^m
其中,I为单位矩阵,||A||表示A的谱范数,即最大特征值的模。由于A的特征值都是复数,所以|λ|表示λ的模。因此,我们有:
|λ|^m <= ||A - λI||^m
<= ||A||^m
<= (||A||^2)^m/2 * (m/2)
= (m/2) * ||A||^m
= √(m&||A||^m)
因此,|λ| <= √(m&||A||^m)。证毕。