C++ 二维vector协方差，矩阵特征值，最大特征值

二维vector协方差：
假设有一个m行n列的矩阵A，其每一列代表一个随机变量的观测值，我们可以使用以下代码来计算每一列之间的协方差。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>

using namespace std;

int main()
{
    vector<vector<double>> A{{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}}; // 3行3列的矩阵
    int m = A.size(); // 行数
    int n = A[0].size(); // 列数

    vector<double> mean(n, 0); // 列均值
    for (int j = 0; j < n; ++j) {
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            mean[j] += A[i][j];
        }
        mean[j] /= m;
    }

    vector<vector<double>> cov(n, vector<double>(n, 0)); // 协方差矩阵
    for (int j = 0; j < n; ++j) {
        for (int k = j; k < n; ++k) {
            double sum = 0;
            for (int i = 0; i < m; ++i) {
                sum += (A[i][j] - mean[j]) * (A[i][k] - mean[k]);
            }
            cov[j][k] = sum / (m - 1);
            cov[k][j] = cov[j][k]; // 对称
        }
    }

    for (int j = 0; j < n; ++j) {
        for (int k = 0; k < n; ++k) {
            cout << cov[j][k] << " ";
        }
        cout << endl;
    }

    return 0;
}

矩阵特征值和最大特征值：
假设有一个n阶方阵A，其特征值是一个n维向量λ，特征向量是一个n维向量v，满足以下式子：

AV=λV

其中，A是矩阵，V是特征向量矩阵，λ是特征值向量。我们可以使用以下代码计算A的特征值和特征向量，并得到最大特征值。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>

using namespace std;

int main()
{
    vector<vector<double>> A{{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}}; // 3行3列的矩阵
    int n = A.size(); // 行数（也是列数）

    vector<vector<double>> V(n, vector<double>(n, 0)); // 特征向量矩阵
    vector<double> lambda(n, 0); // 特征值向量

    // 使用Jacobi方法计算特征值和特征向量
    while (true) {
        double max_off_diag = 0;
        int p = 0, q = 0;
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            for (int k = j + 1; k < n; ++k) {
                if (abs(A[j][k]) > max_off_diag) {
                    max_off_diag = abs(A[j][k]);
                    p = j;
                    q = k;
                }
            }
        }
        if (max_off_diag < 1e-6) {
            break;
        }
        double theta = atan2(2 * A[p][q], A[q][q] - A[p][p]) / 2;
        double c = cos(theta);
        double s = sin(theta);
        vector<vector<double>> B(n, vector<double>(n, 0));
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            for (int k = 0; k < n; ++k) {
                if (j == p && k == p) {
                    B[j][k] = c;
                } else if (j == q && k == q) {
                    B[j][k] = c;
                } else if (j == p && k == q) {
                    B[j][k] = -s;
                } else if (j == q && k == p) {
                    B[j][k] = s;
                } else if (j == k) {
                    B[j][k] = 1;
                }
            }
        }
        A = B * A * trans(B);
    }

    // 最大特征值
    double max_lambda = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if (lambda[i] > max_lambda) {
            max_lambda = lambda[i];
        }
    }
    cout << "max eigenvalue: " << max_lambda << endl;

    return 0;
}

以上代码中使用了Jacobi方法（又称旋转法）来计算特征值和特征向量，它是一种迭代算法。