设四阶矩阵A与B相似，A的特征值为1/2、1/3、1/4、1/5，则｜B^-1 -E｜=

根据矩阵相似的性质，相似矩阵有相同的特征值，因此矩阵B的特征值也为1/2、1/3、1/4、1/5。

由于B与A相似，因此它们有相同的特征多项式，即：

|λE-B| = |λE-A|

将λ分别取1/2、1/3、1/4、1/5代入上式，可得：

(1/2-λ)(1/3-λ)(1/4-λ)(1/5-λ) = (1/2-λ)(1/3-λ)(1/4-λ)(1/5-λ)

因此，|B-E| = 1。

又因为矩阵B可逆，所以|B|≠0，从而有：

|B^-1 - E| = |B^-1| |B-E| = 1/|B| = 1/(1/2×1/3×1/4×1/5) = 120

因此，|B^-1 - E| = 120。

相关问题

矩阵1 2 1 0 1 0 0 0 3特征值为1 1 3能否相似对角化

可以相似对角化。

首先，由于特征值都是实数，因此这个矩阵是对称矩阵。根据实对称矩阵的谱定理，该矩阵可以相似对角化，即存在一个可逆矩阵 P，使得 $P^{-1}AP=D$，其中 D 是一个对角矩阵，其对角线上的元素就是特征值。

接下来，我们需要求出特征向量并构成特征向量矩阵 P。对于每个特征值，求出其对应的特征向量即可。由于特征值 1 有两个线性无关的特征向量，而特征值 3 只有一个线性无关的特征向量，因此特征向量矩阵可以取为：

$$
P = \begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$

最后，我们可以验证一下是否满足相似对角化的条件：$P^{-1}AP=D$。将 P、A、D 带入公式中进行计算，可以发现等式成立，因此该矩阵可以相似对角化。

已知a与b相似，若a为三阶矩阵，且｜2a｜=24，｜b*｜=

我可以回答这个问题。根据题意，我们可以得到：

｜2a｜=24

即

｜a｜=12

因为a与b相似，所以它们有相同的特征值。设a的特征值为λ，则有：

｜a-λI｜=0

因为a是三阶矩阵，所以它有三个特征值。设它们分别为λ1，λ2，λ3，则有：

λ1+λ2+λ3=Tr(a)

λ1λ2+λ1λ3+λ2λ3=det(a)

根据题意，我们知道：

｜b*｜=｜b｜=2｜a｜=24

因为b与a相似，所以它们有相同的特征值。设b的特征值为μ，则有：

｜b-μI｜=0

因为b是三阶矩阵，所以它有三个特征值。设它们分别为μ1，μ2，μ3，则有：

μ1+μ2+μ3=Tr(b)

μ1μ2+μ1μ3+μ2μ3=det(b)

根据相似矩阵的性质，我们知道：

Tr(b)=Tr(a)=λ1+λ2+λ3

det(b)=det(a)=λ1λ2λ3

因此，我们可以得到：

μ1+μ2+μ3=λ1+λ2+λ3=Tr(a)=12

μ1μ2+μ1μ3+μ2μ3=λ1λ2λ3=det(a)=144

又因为：

｜b*｜=2｜a｜=24

所以：

μ1μ2μ3=12

现在我们有了μ1，μ2，μ3的值，我们可以计算出b的行列式：

det(b)=(μ1-λ)(μ2-λ)(μ3-λ)

将λ取为μ1，μ2，μ3中的一个，代入上式，就可以得到b的行列式。因为b是三阶矩阵，所以它有三个行列式。设它们分别为d1，d2，d3，则有：

d1=(μ1-λ1)(μ2-λ1)(μ3-λ1)

d2=(μ1-λ2)(μ2-λ2)(μ3-λ2)

d3=(μ1-λ3)(μ2-λ3)(μ3-λ3)

因此，我们可以得到b的行列式：

det(b)=d1+d2+d3

至此，我们就得到了b的行列式。