用schur分解证明：如果两个矩阵满足A*B=B*A，则A+B的特征值等于这两个矩阵的特征值之和

我们可以使用 Schur 分解来证明此结论。

首先，由于 $A$ 和 $B$ 满足 $AB=BA$，我们可以使用 Schur 分解将它们分解为上三角矩阵的形式，即：

$$A=UTU^*$$

$$B=VTV^*$$

其中 $U,V$ 为酉矩阵，$T$ 和 $S$ 均为上三角矩阵。我们可以得到：

$$A+B=UTU^*+VTV^*$$

现在我们需要证明 $A+B$ 和 $T+S$ 具有相同的特征值。由于 $T$ 和 $S$ 均为上三角矩阵，它们的特征值就是它们的对角线元素。因此，我们只需要证明 $UTU^*+VTV^*$ 的对角线元素之和等于 $T$ 和 $S$ 的对角线元素之和即可。

考虑 $UTU^*$ 和 $VTV^*$ 对角线元素之和分别为：

$$\sum_{i=1}^n T_{ii}$$

$$\sum_{i=1}^n S_{ii}$$

因此，$UTU^*+VTV^*$ 的对角线元素之和为：

$$\sum_{i=1}^n(T_{ii}+S_{ii})$$

因为 $A$ 和 $B$ 满足 $AB=BA$，所以 $T$ 和 $S$ 也满足 $TS=ST$。因此，我们可以使用 Schur 分解得到：

$$A+B=UTU^*+VTV^*=(U+V)(T+S)(U+V)^*$$

由于 $U$ 和 $V$ 是酉矩阵，因此它们的和 $U+V$ 也是酉矩阵。因此，$(U+V)(T+S)(U+V)^*$ 和 $T+S$ 相似，它们具有相同的特征值。因此，我们得到：

$$\text{tr}(A+B)=\sum_{i=1}^n(T_{ii}+S_{ii})=\text{tr}(T+S)$$

因此，$A+B$ 的特征值之和等于 $T$ 和 $S$ 的特征值之和。证毕。