用schur分解证明:如果A*B=B*A,则A+B的特征值等于这两个矩阵的特征值之和
时间: 2024-03-31 09:35:19 浏览: 31
根据 Schur 分解定理,对于任意一个 $n \times n$ 的矩阵 $M$,都存在一个酉矩阵 $U$,使得 $M = UDU^\dagger$,其中 $D$ 是一个上三角矩阵,$U^\dagger$ 表示 $U$ 的共轭转置。注意上三角矩阵的特征值就是其对角线上的元素。
现在假设 $A$ 和 $B$ 满足 $AB = BA$,那么我们可以将 $A$ 和 $B$ 分别进行 Schur 分解,得到 $A = U_A D_A U_A^\dagger$ 和 $B = U_B D_B U_B^\dagger$。于是有:
$$
A + B = U_A D_A U_A^\dagger + U_B D_B U_B^\dagger = (U_A + U_B) \begin{pmatrix} D_A & 0 \\ 0 & D_B \end{pmatrix} (U_A + U_B)^\dagger
$$
其中 $\begin{pmatrix} D_A & 0 \\ 0 & D_B \end{pmatrix}$ 是一个对角矩阵,它的对角线上分别是 $D_A$ 和 $D_B$ 的对角线上的元素。
现在考虑 $A + B$ 的特征值。根据上面的分解,我们可以看出 $A + B$ 和 $\begin{pmatrix} D_A & 0 \\ 0 & D_B \end{pmatrix}$ 相似,因此它们有相同的特征值。$\begin{pmatrix} D_A & 0 \\ 0 & D_B \end{pmatrix}$ 的特征值就是 $D_A$ 和 $D_B$ 的对角线上的元素,也就是 $A$ 和 $B$ 的特征值。因此,$A+B$ 的特征值就是 $A$ 和 $B$ 的特征值之和。
综上所述,如果 $A$ 和 $B$ 满足 $AB = BA$,那么 $A+B$ 的特征值等于 $A$ 和 $B$ 的特征值之和。
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