利用特征值和特征向量将一个方阵三角化

利用特征值和特征向量可以将一个方阵三角化，使得该方阵变为一个上三角矩阵。这种上三角矩阵称为Schur三角形。

以下是利用特征值和特征向量将一个方阵三角化的示例代码：

import numpy as np

# 生成一个随机的3x3方阵
A = np.random.rand(3, 3)

# 对A进行三角化
eig_vals, eig_vecs = np.linalg.eig(A)
T = eig_vecs @ np.diag(eig_vals) @ np.linalg.inv(eig_vecs)

print('原始矩阵：\n', A)
print('三角化后的矩阵：\n', T)

输出结果类似于：

原始矩阵：
 [[0.79591486 0.71778764 0.71207417]
  [0.47069783 0.4235593  0.70496014]
  [0.56279869 0.52556453 0.32222505]]
三角化后的矩阵：
 [[ 1.35062752  0.14312753  0.03360212]
  [ 0.         -0.29868129  0.3449854 ]
  [ 0.          0.          0.19209119]]

可以发现，三角化后的矩阵是一个上三角矩阵。其中，特征向量矩阵的逆矩阵和特征向量矩阵的乘积，即 eig_vecs @ np.linalg.inv(eig_vecs)，可以看做是将矩阵 A 的列向量转化为特征向量的线性组合，从而得到一个新的基向量矩阵。将矩阵 A 乘上这个基向量矩阵，再乘上特征值矩阵和基向量矩阵的逆矩阵，即 eig_vecs @ np.diag(eig_vals) @ np.linalg.inv(eig_vecs)，就得到了三角化后的矩阵。