||λx||=λ||x||
时间: 2023-12-27 15:03:22 浏览: 36
根据提供的引用内容,我们可以得出结论:对于任意矩阵A和标量λ,有||λA||=λ||A||。这个结论可以通过以下步骤进行证明:
1. 首先,我们定义矩阵A的范数为||A||=sup{||Ax||:||x||=1},其中sup表示上确界。
2. 然后,我们考虑矩阵λA,其中λ是一个标量。对于任意非零向量x,有||λAx||=|λ|||Ax||=|λ||sup{||Ax||:||x||=1}。
3. 接下来,我们考虑向量y=λx,其中x是一个非零向量。根据定义,有||y||=sup{||y||:||y||=1}=sup{||λx||:||x||=1}。
4. 根据步骤2和步骤3,我们可以得出结论:||λA||=sup{||λAx||:||x||=1}=sup{||y||:||y||=1}=|λ||sup{||Ax||:||x||=1}=|λ||||A||。
所以,我们证明了对于任意矩阵A和标量λ,有||λA||=λ||A||。
相关问题
|λA+(1-λ)B|=λ|A|+(1-λ)B
这个式子是矩阵的谱范数的性质,其中A和B是n阶方阵,λ是一个实数。谱范数是矩阵的所有特征值的绝对值的最大值。因此,|λA+(1-λ)B|=λ|A|+(1-λ)|B|,其中|A|和|B|分别是矩阵A和B的行列式的绝对值。这个性质可以通过以下步骤证明:
1. 由于A和B都是n阶方阵,它们都有n个特征值。设λ1, λ2, ..., λn是A的特征值,μ1, μ2, ..., μn是B的特征值。
2. 对于任意向量x,有|(λA+(1-λ)B)x|≤|λA x|+|(1-λ)B x|,根据矩阵范数的定义,有|λA+(1-λ)B|≤λ|A|+(1-λ)|B|。
3. 另一方面,对于任意向量y,有|(λA+(1-λ)B)y|≥λ|A y|+(1-λ)|B y|,因此|λA+(1-λ)B|≥λ|A|+(1-λ)|B|。
4. 综上所述,|λA+(1-λ)B|=λ|A|+(1-λ)|B|,证毕。
2. 设 为矩阵A∈Cmxn的特征值,证明|λ|≤√(m&||A||^m )
对于矩阵A的特征值λ,我们有如下不等式:
|λ|^m = |λ|^m * 1 * 1 * ... * 1
<= |λ|^m * |A - λI| * |A - λI| * ... * |A - λI|
= |(A - λI)^m|
<= ||A - λI||^m
其中,I为单位矩阵,||A||表示A的谱范数,即最大特征值的模。由于A的特征值都是复数,所以|λ|表示λ的模。因此,我们有:
|λ|^m <= ||A - λI||^m
<= ||A||^m
<= (||A||^2)^m/2 * (m/2)
= (m/2) * ||A||^m
= √(m&||A||^m)
因此,|λ| <= √(m&||A||^m)。证毕。
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