||λx||=λ||x||

根据提供的引用内容，我们可以得出结论：对于任意矩阵A和标量λ，有||λA||=λ||A||。这个结论可以通过以下步骤进行证明：

1. 首先，我们定义矩阵A的范数为||A||=sup{||Ax||:||x||=1}，其中sup表示上确界。

2. 然后，我们考虑矩阵λA，其中λ是一个标量。对于任意非零向量x，有||λAx||=|λ|||Ax||=|λ||sup{||Ax||:||x||=1}。

3. 接下来，我们考虑向量y=λx，其中x是一个非零向量。根据定义，有||y||=sup{||y||:||y||=1}=sup{||λx||:||x||=1}。

4. 根据步骤2和步骤3，我们可以得出结论：||λA||=sup{||λAx||:||x||=1}=sup{||y||:||y||=1}=|λ||sup{||Ax||:||x||=1}=|λ||||A||。

所以，我们证明了对于任意矩阵A和标量λ，有||λA||=λ||A||。

相关问题

|λA+(1-λ)B|=λ|A|+(1-λ)B

这个式子是矩阵的谱范数的性质，其中A和B是n阶方阵，λ是一个实数。谱范数是矩阵的所有特征值的绝对值的最大值。因此，|λA+(1-λ)B|=λ|A|+(1-λ)|B|，其中|A|和|B|分别是矩阵A和B的行列式的绝对值。这个性质可以通过以下步骤证明：
1. 由于A和B都是n阶方阵，它们都有n个特征值。设λ1, λ2, ..., λn是A的特征值，μ1, μ2, ..., μn是B的特征值。
2. 对于任意向量x，有|(λA+(1-λ)B)x|≤|λA x|+|(1-λ)B x|，根据矩阵范数的定义，有|λA+(1-λ)B|≤λ|A|+(1-λ)|B|。
3. 另一方面，对于任意向量y，有|(λA+(1-λ)B)y|≥λ|A y|+(1-λ)|B y|，因此|λA+(1-λ)B|≥λ|A|+(1-λ)|B|。
4. 综上所述，|λA+(1-λ)B|=λ|A|+(1-λ)|B|，证毕。

y^(1) = invA * x^(0) = [2; -3] lambda^(1) = ||y^(1)||inf = 3 x^(1) = y^(1) / lambda^(1) = [2/3; -1] err^(1) = ||A*x^(1) - lambda^(1)*x^(1)||inf / ||A||inf = 0.5345

这段内容是使用反幂法计算矩阵A=[1/2 1/3; 1/3 1/4]最小特征值和对应特征向量的第一次迭代过程中，计算出的一些值。按照您的要求，我会解释一下这些值的含义：

- y^(1)：表示第1次迭代后计算得到的向量，y^(1) = inv(A) * x^(0)，其中x^(0)=[1; 0]。它在这个算法中起到一个中间变量的作用，用于计算下一步的λ和x。
- lambda^(1)：表示第1次迭代后计算得到的特征值的近似值，lambda^(1) = ||y^(1)||inf，其中||y^(1)||inf表示向量y^(1)的无穷范数，也就是绝对值最大的分量。因为x^(1)是归一化的，所以lambda^(1)近似等于矩阵A的最小特征值。
- x^(1)：表示第1次迭代后计算得到的特征向量的近似值，x^(1) = y^(1) / lambda^(1)。这个向量是归一化的，它近似对应于矩阵A的最小特征值所对应的特征向量。
- err^(1)：表示第1次迭代后计算得到的相对误差，err^(1) = ||A*x^(1) - lambda^(1)*x^(1)||inf / ||A||inf，其中||A*x^(1) - lambda^(1)*x^(1)||inf表示计算出来的残差的无穷范数，也就是绝对值最大的分量，||A||inf表示矩阵A的无穷范数。这个相对误差用于判断是否达到了所要求的精度，如果小于给定的误差限，则停止迭代。

在第1次迭代中，y^(1)=[2; -3]，它的无穷范数为3，所以lambda^(1)=3。将y^(1)归一化得到x^(1)=[2/3; -1]，计算出的相对误差为err^(1)=0.5345，这个值大于所要求的相对误差限，因此需要进行下一次迭代。

希望这个解释对您有所帮助！