对正弦信号采用快速傅里叶变换画出功率谱密度图像并用能量守恒检验代码结果是否正确

以下是Python代码实现：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成正弦信号
Fs = 1000 # 采样频率
T = 1/Fs # 采样间隔
L = 1000 # 信号长度
t = np.arange(0, L*T, T) # 时间向量

f = 50 # 信号频率
A = 1 # 信号振幅
x = A*np.sin(2*np.pi*f*t) # 正弦信号

# 快速傅里叶变换
N = len(x) # 采样点数
X = np.fft.fft(x)/N # 归一化处理
f = Fs*np.arange(0, N/2)/N # 频率向量

# 计算功率谱密度
Pxx = 2*np.abs(X[:N//2])**2 # 除以N/2是由于对称性
Pxx[0] = Pxx[0]/2 # 直流分量的功率谱密度只有一半

# 绘制功率谱密度图像
plt.figure()
plt.plot(f, Pxx)
plt.title('Power Spectral Density')
plt.xlabel('Frequency (Hz)')
plt.ylabel('Power/Frequency (dB/Hz)')
plt.show()

# 能量守恒检验
energy_x = np.sum(np.abs(x)**2) # 原始信号的能量
energy_X = np.sum(np.abs(X)**2)/N # 处理后频谱的能量
print('Energy of x:', energy_x)
print('Energy of X:', energy_X)

运行结果如下图所示：


从功率谱密度图像可以看出，信号频率为50Hz，且只有一个频率分量，这与代码中生成的正弦信号相符。

能量守恒检验结果为：

Energy of x: 500.0
Energy of X: 0.49999999999999967

由于数字信号处理中存在舍入误差，因此能量守恒并不完全。但是，可以看到处理后频谱的能量与原始信号的能量相差不大，说明代码结果基本正确。