假设无人机以平行于水平面的方式飞行，在空中投放物资（物资为球形，半径 20cm， 重量 50kg）到达地面指定位置。 （1）建立数学模型，给出无人机投放距离（投放物资时无人机与地面物资指定落地点之间 的直线距离）与无人机飞行高度、飞行速度、空气阻力等之间的关系。

建立数学模型如下：

设无人机飞行高度为 $h$，飞行速度为 $v$，空气阻力系数为 $k$，投放距离为 $d$。设物资从无人机开始投放到落地所需时间为 $t$，则无人机在此期间飞行的距离为 $vt$。在此期间，物资受到空气阻力的作用，其运动方程为：

$$
m\frac{d\vec{v}}{dt} = m\vec{g} - k\vec{v}
$$

其中 $m$ 为物资质量，$\vec{v}$ 为物资速度，$\vec{g}$ 为重力加速度，方向竖直向下。考虑到物资的下落与无人机的飞行是独立的，可以将物资的速度分解为竖直方向和水平方向，竖直方向速度为 $v_v$，水平方向速度为 $v_h$。则：

$$
\begin{cases}
m\frac{dv_v}{dt} = mg - kv_v \\
m\frac{dv_h}{dt} = -kv_h
\end{cases}
$$

解得：

$$
\begin{cases}
v_v = \frac{mg}{k}(1-e^{-\frac{kt}{m}}) \\
v_h = v(1-e^{-\frac{kt}{m}})
\end{cases}
$$

物资的下落时间为：

$$
t = \sqrt{\frac{2h}{g}}
$$

物资落地的水平距离为：

$$
d = v_h \cdot t = v(1-e^{-\frac{kt}{m}})\sqrt{\frac{2h}{g}}
$$

综上，无人机投放距离与无人机飞行高度、飞行速度、空气阻力系数之间的关系为：

$$
d = v(1-e^{-\frac{k\sqrt{\frac{2h}{g}}}{m}})\sqrt{\frac{2h}{g}}
$$

其中 $g$ 为重力加速度。