$$y_i = β_{0} + β_{1} x_{i1} + β_{2} x_{i2} + β_{1} β_{2}x_{i3} + ϵ_i$$这种方程怎么估回归系数

如果线性回归模型中有一个回归系数是另两个回归系数的积，那么可以将该回归系数表示为其他两个回归系数的函数。例如，如果回归系数 $β_{3}$ 表示为 $β_{1} β_{2}$ 的形式，那么线性回归模型可以表示为：

$$y_i = β_{0} + β_{1} x_{i1} + β_{2} x_{i2} + β_{1} β_{2}x_{i3} + ϵ_i$$

为了估计该线性回归模型的回归系数，可以使用最小二乘法。具体来说，可以将该模型中的 $β_{1} β_{2}$ 表示为 $z_i = x_{i1} x_{i2}$，然后将原始的两个自变量 $x_{i1}, x_{i2}$，和新的自变量 $z_i$ 作为输入特征，进行最小二乘回归，得到回归系数的最优解。

下面是使用 Python 进行回归系数估计的示例代码：

import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression

# 生成样本数据
np.random.seed(0)
n = 1000
X = np.random.randn(n, 3)
y = 2 * X[:, 0] - 3 * X[:, 1] + 5 * X[:, 2] * X[:, 0] + np.random.randn(n)

# 构造新的特征
z = X[:, 0] * X[:, 1]

# 拼接特征矩阵
X = np.column_stack((X[:, :-1], z))

# 训练模型
model = LinearRegression().fit(X, y)

# 打印回归系数
print("intercept:", model.intercept_)
print("coefficient:", model.coef_)

上述代码中，首先生成了 $n$ 个样本，其中前两列为自变量 $x_{i1}, x_{i2}$，最后一列为新特征 $z_i$。然后使用 `LinearRegression` 类来训练模型并得到模型参数。