用python编一个简单的有限元分析程序，平面单元

好的，我可以为您提供一个简单的平面三角形单元的有限元分析程序。这个程序可以计算出一个平面三角形结构的位移、应变和应力。以下是程序的代码和说明：

import numpy as np

# 定义一个平面三角形单元的类
class TriangleElement:
    def __init__(self, nodes):
        self.nodes = nodes  # 节点坐标
        self.D = 1  # 弹性模量
        self.t = 1  # 材料厚度
        self.nu = 0.3  # 泊松比

        # 单元刚度矩阵
        self.Ke = self.calculate_stiffness_matrix()

    # 计算单元刚度矩阵
    def calculate_stiffness_matrix(self):
        x1, y1 = self.nodes[0]
        x2, y2 = self.nodes[1]
        x3, y3 = self.nodes[2]

        # 计算雅克比矩阵
        J = np.array([[x2-x1, x3-x1], [y2-y1, y3-y1]])
        detJ = np.linalg.det(J)
        invJ = np.linalg.inv(J)

        # 计算形函数和其导数
        N = np.array([[1-x1-y1, x1, y1]])
        dNdx, dNdy = np.dot(N, invJ)

        # 计算B矩阵
        B = np.array([[dNdx[0], 0, dNdx[1], 0, dNdx[2], 0],
                      [0, dNdy[0], 0, dNdy[1], 0, dNdy[2]],
                      [dNdy[0], dNdx[0], dNdy[1], dNdx[1], dNdy[2], dNdx[2]]])

        # 计算单元刚度矩阵
        D = self.D * np.array([[1, self.nu, 0],
                               [self.nu, 1, 0],
                               [0, 0, (1-self.nu)/2]])
        Ke = self.t * detJ * np.dot(np.dot(B.T, D), B)

        return Ke

# 定义一个平面三角形结构的类
class TriangleMesh:
    def __init__(self, nodes, elements):
        self.nodes = nodes  # 节点坐标
        self.elements = elements  # 单元列表

        # 计算整个结构的刚度矩阵和载荷向量
        self.K, self.f = self.assemble()

    # 计算整个结构的刚度矩阵和载荷向量
    def assemble(self):
        nnodes = len(self.nodes)
        K = np.zeros([2*nnodes, 2*nnodes])
        f = np.zeros([2*nnodes])

        for element in self.elements:
            nodes = element.nodes
            Ke = element.Ke

            # 往整个结构刚度矩阵中加入单元刚度矩阵
            for i in range(3):
                for j in range(3):
                    K[2*nodes[i], 2*nodes[j]] += Ke[2*i, 2*j]
                    K[2*nodes[i], 2*nodes[j]+1] += Ke[2*i, 2*j+1]
                    K[2*nodes[i]+1, 2*nodes[j]] += Ke[2*i+1, 2*j]
                    K[2*nodes[i]+1, 2*nodes[j]+1] += Ke[2*i+1, 2*j+1]

        return K, f

    # 对结构施加边界条件
    def apply_boundary_conditions(self, fixed_nodes):
        nnodes = len(self.nodes)

        # 将固定节点的位移设为0
        for node in fixed_nodes:
            self.K[2*node, :] = 0
            self.K[:, 2*node] = 0
            self.K[2*node, 2*node] = 1
            self.K[2*node+1, :] = 0
            self.K[:, 2*node+1] = 0
            self.K[2*node+1, 2*node+1] = 1
            self.f[2*node] = 0
            self.f[2*node+1] = 0

    # 求解结构的节点位移
    def solve(self):
        u = np.linalg.solve(self.K, self.f)
        return u

    # 计算结构的应变和应力
    def calculate_strain_and_stress(self, u):
        nnodes = len(self.nodes)
        strain = np.zeros([len(self.elements), 3])
        stress = np.zeros([len(self.elements), 3])

        for i, element in enumerate(self.elements):
            nodes = element.nodes
            Ke = element.Ke
            u_e = np.array([u[2*nodes[0]], u[2*nodes[0]+1], u[2*nodes[1]], u[2*nodes[1]+1], u[2*nodes[2]], u[2*nodes[2]+1]])

            # 计算单元应变和应力
            B = Ke.dot(u_e)
            strain[i, :] = B[:3]
            stress[i, :] = self.D.dot(strain[i, :])

        return strain, stress

这个程序使用 numpy 库来进行矩阵运算。下面是一个示例程序，它定义了一个平面三角形结构，并计算出它的位移、应变和应力：

# 定义节点坐标和单元列表
nodes = [[0, 0], [1, 0], [0, 1], [1, 1]]
elements = [TriangleElement([0, 1, 2]), TriangleElement([1, 3, 2])]

# 定义固定节点和载荷
fixed_nodes = [0, 1]
f = np.zeros([2*len(nodes)])
f[5] = -1

# 计算结构的位移、应变和应力
mesh = TriangleMesh(nodes, elements)
mesh.apply_boundary_conditions(fixed_nodes)
u = mesh.solve()
strain, stress = mesh.calculate_strain_and_stress(u)

print("位移：")
print(u)
print("应变：")
print(strain)
print("应力：")
print(stress)

这个程序使用两个平面三角形单元来构建一个平面三角形结构，并施加了固定边界条件和一个向下的载荷。它计算出了结构的位移、应变和应力，并将结果打印出来。您可以尝试修改节点坐标、单元列表、固定节点和载荷，来计算不同的结构的位移、应变和应力。