假定transformer的解码器结构是掩码多头注意力、残差连接和层正则化1、多头交叉注意力、残差连接和层正则化2、前馈网络、残差连接和层正则化3、解码输出，一共七层。以I like this lecture四个词的输入序列为例，输出为其中文翻译。假没词的embedding维度为10，编码器和解码均使用8个头的自注力模块。参考以上transformer解码器结构，自定义所需变量和符号，分别对这七个模块的输入输出和处理过程进行具体分析（包括矩阵的维度等）。注意，除了四个词外，<begin>为初始值，因此注意力矩阵是5*10的

为方便描述，我们将输入序列 "I like this lecture" 转换为对应的词向量矩阵 $X \in \mathbb{R}^{5 \times 10}$，其中每一行表示一个词的词向量，每个词的词向量维度为10。假设输入序列的编码器已经生成了对应的编码向量 $E \in \mathbb{R}^{5 \times 10}$，其中每一行表示一个词的编码向量。

1. 掩码多头注意力

输入：解码器的上一层输出 $Y_{i-1} \in \mathbb{R}^{5 \times 10}$，掩码矩阵 $M \in \{0, -\infty\}^{5 \times 5}$，其中 $M_{ij}$ 表示在解码器的第 $i$ 个位置时是否可以看到编码器的第 $j$ 个位置的信息。在解码器中，我们需要将当前位置之后的信息掩盖掉，因此 $M$ 的上三角部分应该全部设置为 $-\infty$。

处理过程：

1. 将 $Y_{i-1}$ 拆分为 $h$ 个头，每个头的大小为 $d_h = d_{model} / h = 10 / 8 = 1.25$，得到 $h$ 个矩阵 $Y_{i-1}^1, ..., Y_{i-1}^h \in \mathbb{R}^{5 \times 1.25}$。
2. 对每个头 $j$，计算其注意力分数矩阵 $A^j \in \mathbb{R}^{5 \times 5}$，其中 $A^j_{ij} = \frac{1}{\sqrt{d_h}} \cdot Q^j_i \cdot K^j_j$，$Q^j_i$ 和 $K^j_j$ 分别表示当前位置 $i$ 的查询向量和编码器位置 $j$ 的键向量，均为 $Y_{i-1}^j$ 的线性变换结果。
3. 将注意力分数矩阵与掩码矩阵相加，得到掩码注意力分数矩阵 $A \in \mathbb{R}^{5 \times 5}$，其中 $A_{ij} = \sum_{j=1}^{h} A^j_{ij} + M_{ij}$。
4. 对掩码注意力分数矩阵进行 softmax 操作，得到注意力权重矩阵 $W \in \mathbb{R}^{5 \times 5}$，其中 $W_{ij}$ 表示在解码器的第 $i$ 个位置时对编码器的第 $j$ 个位置的注意力权重。
5. 对每个头 $j$，计算其加权值向量 $V^j \in \mathbb{R}^{1.25}$，其中 $V^j_i = \sum_{j=1}^{5} W_{ij} \cdot V^j_j$，$V^j_j$ 表示编码器位置 $j$ 的值向量，即编码器的输出 $E$ 的第 $j$ 行。
6. 将 $h$ 个加权值向量连接起来，得到当前位置的输出 $Y_i \in \mathbb{R}^{10}$。

输出：当前位置的输出 $Y_i \in \mathbb{R}^{10}$。

2. 多头交叉注意力

输入：掩码多头注意力的输出 $Y_i \in \mathbb{R}^{10}$，编码器的输出 $E \in \mathbb{R}^{5 \times 10}$。

处理过程：

1. 将 $Y_i$ 拆分为 $h$ 个头，每个头的大小为 $d_h = d_{model} / h = 10 / 8 = 1.25$，得到 $h$ 个矩阵 $Y_i^1, ..., Y_i^h \in \mathbb{R}^{1 \times 1.25}$。
2. 对每个头 $j$，计算其注意力分数矩阵 $A^j \in \mathbb{R}^{5 \times 1}$，其中 $A^j_{ij} = \frac{1}{\sqrt{d_h}} \cdot Q^j_i \cdot K^j_j$，$Q^j_i$ 和 $K^j_j$ 分别表示当前位置 $i$ 的查询向量和编码器位置 $j$ 的键向量，均为 $Y_i^j$ 的线性变换结果。
3. 对每个头 $j$，计算其加权值向量 $V^j \in \mathbb{R}^{1.25}$，其中 $V^j_i = \sum_{j=1}^{5} A^j_{ij} \cdot V^j_j$，$V^j_j$ 表示编码器位置 $j$ 的值向量，即编码器的输出 $E$ 的第 $j$ 行。
4. 将 $h$ 个加权值向量连接起来，得到当前位置的输出 $Y_i' \in \mathbb{R}^{10}$。

输出：当前位置的输出 $Y_i' \in \mathbb{R}^{10}$。

3. 前馈网络

输入：多头交叉注意力的输出 $Y_i' \in \mathbb{R}^{10}$。

处理过程：

1. 对 $Y_i'$ 进行线性变换，得到形状为 $(10, 512)$ 的中间结果 $Y_i''$。
2. 对 $Y_i''$ 每个元素应用激活函数 ReLU，得到激活后的结果 $Y_i'''$。
3. 对 $Y_i'''$ 进行另一个线性变换，得到当前位置的输出 $Y_i'''' \in \mathbb{R}^{10}$。

输出：当前位置的输出 $Y_i'''' \in \mathbb{R}^{10}$。

4. 残差连接和层正则化

输入：前馈网络的输出 $Y_i'''' \in \mathbb{R}^{10}$，解码器的上一层输出 $Y_{i-1} \in \mathbb{R}^{5 \times 10}$。

处理过程：

1. 对前馈网络的输出 $Y_i''''$ 和解码器的上一层输出 $Y_{i-1}$ 进行残差连接，得到形状为 $(5, 10)$ 的中间结果 $Z_i$，其中 $Z_i = Y_i'''' + Y_{i-1}$。
2. 对 $Z_i$ 进行层正则化，得到当前位置的输出 $Y_i''''' \in \mathbb{R}^{5 \times 10}$。

输出：当前位置的输出 $Y_i''''' \in \mathbb{R}^{5 \times 10}$。

5. 掩码多头注意力

输入：残差连接和层正则化的输出 $Y_i''''' \in \mathbb{R}^{5 \times 10}$，掩码矩阵 $M \in \{0, -\infty\}^{5 \times 5}$。

处理过程：同掩码多头注意力中的处理过程。

输出：当前位置的输出 $Y_i \in \mathbb{R}^{10}$。

6. 多头交叉注意力

输入：掩码多头注意力的输出 $Y_i \in \mathbb{R}^{10}$，编码器的输出 $E \in \mathbb{R}^{5 \times 10}$。

处理过程：同多头交叉注意力中的处理过程。

输出：当前位置的输出 $Y_i' \in \mathbb{R}^{10}$。

7. 前馈网络和残差连接和层正则化

输入：多头交叉注意力的输出 $Y_i' \in \mathbb{R}^{10}$。

处理过程：同前馈网络和残差连接和层正则化中的处理过程。

输出：当前位置的输出 $Y_i''''' \in \mathbb{R}^{5 \times 10}$。

最终输出：解码器的输出序列为 $\{Y_1, Y_2, Y_3, Y_4, Y_5\}$，其中 $Y_i'''''$ 表示解码器的第 $i$ 个位置输出的词向量。可以将其转化为对应的词汇表中的词进行翻译。