设R1和R2是A={0,1,2,3}上的关系，这里 R1 ={<x,y>|(y=x+1)或y=x/2} R2 ={<x,y>|x=y+2} 其中x,y都属于A，求： R1 ○ R2， r(R1), s(R1)，t(R2)， R2的关系矩阵M[R2]，R20。

首先，求出 $R1 \circ R2$：

$R1 \circ R2 = \{<x,z> \mid \exists y ((x,y) \in R2 \wedge (y,z) \in R1)\}$

代入 $R1$ 和 $R2$ 的定义，展开得到：

$R1 \circ R2 = \{<x,z> \mid \exists y ((x,y+2) \in R2 \wedge ((y+2)=z+1 \vee (y+2)=z/2))\}$

再代入 $R2$ 的定义，得到：

$R1 \circ R2 = \{<x,z> \mid \exists y (x=y+2 \wedge ((y+2)=z+1 \vee (y+2)=z/2))\}$

所以 $R1 \circ R2$ 中的元素为 $\{<2,1>,<3,2>,<4,3>,<4,2>,<5,4>,<6,3>,<6,1>,<7,5>\}$。

接下来，求 $R1$ 的反，对称和传递闭包：

- $r(R1) = \{x \mid \exists y <x,y> \in R1\} = A = \{0,1,2,3\}$
- $s(R1) = \{<x,y> \mid <y,x> \in R1\} \cup R1$

对于 $s(R1)$，首先可以看到 $R1$ 中已经包含了一些对称的元素，如 $<1,2>$ 和 $<2,1>$，所以 $s(R1)$ 中应该也包含这些元素。此外，还需要找到 $R1$ 中不对称的元素，如 $<2,0>$ 和 $<3,1>$，将其反转并加入 $s(R1)$。最终得到 $s(R1) = \{<0,1>,<1,0>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,1>\}$。

- $t(R2)$ 即为 $R2$ 的转置，即交换所有元素的位置得到 $t(R2) = \{<y,x> \mid <x,y> \in R2\} = \{<y,x> \mid x=y+2\}$。

接下来，求 $R2$ 的关系矩阵 $M[R2]$：

$$
M[R2] =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
$$

最后，求 $R2$ 的自反闭包 $R20$。由于 $R2$ 不具有自反性，所以 $R20 = R2 \cup \{(x,x) \mid x \in A\}$，即将 $R2$ 中所有元素 $<x,y>$ 替换为 $<(x,x),(y,y)>$ 即可得到 $R20$：

$R20 = \{<(2,2),(0,0)>, <(3,3),(1,1)>, <(4,4),(2,2)>, <(4,4),(0,0)>, \\ <(5,5),(3,3)>, <(6,6),(2,2)>, <(6,6),(0,0)>, <(7,7),(5,5)>, \\ <(0,0),(0,0)>, <(1,1),(1,1)>, <(2,2),(2,2)>, <(3,3),(3,3)> \}$