ig. 3. Parity-forwarding implementation of DF using LDPC codes. (a) The source message is encoded using an (n; n 翻译
时间: 2024-05-27 14:09:45 浏览: 23
把DF的实现用LDPC码进行奇偶转发,图3展示了这个过程。在这个过程中,源消息通过一个(n; n-k)的LDPC码进行编码。编码后的数据被分成两个部分:奇校验位和偶校验位。这些校验位被分别发送到两个不同的接收器。在接收器端,接收到的数据被重新组装,以便恢复原始消息。这种方法可以在传输中增加冗余,从而提高数据传输的可靠性。
相关问题
Low-density parity-check codes constructed from protographs
can achieve near-Shannon limit performance. Can you explain how protograph-based LDPC codes work and what makes them effective in achieving high accuracy?
Sure, I'd be happy to explain. LDPC codes are a type of error-correcting code used in digital communication systems to mitigate the effects of noise and interference. Protograph-based LDPC codes are a type of LDPC code that use a protograph matrix to describe the code structure. The protograph matrix specifies the connectivity pattern of the code's check matrix, which is used to detect and correct errors in the transmitted data.
The use of protographs allows for the creation of highly structured LDPC codes with a well-defined pattern of connections between nodes. This structure makes it easier to design and analyze the codes, which leads to better performance. Additionally, protograph-based LDPC codes can be optimized for specific transmission scenarios, further improving their performance.
The near-Shannon limit performance of protograph-based LDPC codes can be attributed to their ability to correct a high percentage of errors with a low probability of error. This is achieved through the iterative decoding process, where the received data is repeatedly processed through the protograph-based LDPC code until the probability of error is minimized. By carefully constructing the protograph matrix and optimizing the decoding algorithm, protograph-based LDPC codes can achieve extremely high accuracy in noisy communication channels.
Pick a (n −k)×n matrix H over Fq at random. Show that with high probability the code whose parity check matrix is H achieves the GV bound.中文回答
这个问题是关于随机选择矩阵H来构建校验矩阵的码字,使其达到GV界的概率的问题。根据GV界定理,对于给定的码长n,信息位长度k和有限域Fq,存在一个下界,使得任何线性码的最小距离d都满足d≥n-k+1-√k(q-1)。因此,我们的目标是构建一个校验矩阵H,使得对应的线性码的最小距离不小于这个下界。
首先,我们需要计算随机选择矩阵H的概率,使得对应的线性码的最小距离小于GV界。我们可以使用概率论和线性代数的知识来解决这个问题。具体来说,我们需要计算任意两行之间的内积为0的概率,记为P。根据随机矩阵的性质,我们可以假设每个元素都是独立且均匀分布在有限域Fq上的随机变量。因此,对于任意两行i和j(i≠j),它们的内积为0的概率为:
P(i,j)=Pr(H_{i,1}H_{j,1}+...+H_{i,n}H_{j,n}=0)
由于每个元素都是独立的,因此可以将上式展开为:
P(i,j)=∏_{t=1}^{n} Pr(H_{i,t}H_{j,t}=0)
由于H_{i,t}和H_{j,t}都是随机变量,它们的乘积为0的概率为:
Pr(H_{i,t}H_{j,t}=0)=1-1/q
因此,我们有:
P(i,j)=(1-1/q)^k
根据上述计算,我们可以得到任意两行之间的内积为0的概率P。然后,我们可以计算对于给定的码长n和信息位长度k,任意两行之间的内积为0的期望数量E。具体来说,我们有:
E={n \choose 2} P={n \choose 2} (1-1/q)^k
如果E足够小,那么我们可以说对于大多数随机矩阵H,其对应的线性码的最小距离都不小于GV界。具体来说,当E<1时,我们可以说概率接近于1,当E<1/2时,我们可以说概率大于1/2。
因此,我们需要解决的问题是计算E是否小于1或1/2。具体来说,我们有:
E={n \choose 2} (1-1/q)^k
因此,我们需要计算(1-1/q)^k是否小于1/n(n-1)或1/2n(n-1)。根据二项式定理,我们有:
(1-1/q)^k=\sum_{i=0}^{k} (-1)^i {k \choose i} 1/q^i
由于我们要计算的是(1-1/q)^k的下界,因此我们只需要计算上述求和式中i=k或i=k-1的项。具体来说,当i=k时,我们有:
(-1)^k {k \choose k} 1/q^k=1/q^k
当i=k-1时,我们有:
(-1)^{k-1} {k \choose k-1} 1/q^{k-1}=(-1)^{k-1} k/q^{k-1}
因此,我们可以得到:
(1-1/q)^k≥1/q^k-kq^{-k+1}
当E小于1时,我们需要满足:
E={n \choose 2} (1-1/q)^k<1
代入上式,我们有:
{n \choose 2} (1-1/q)^k<{n \choose 2}/q^k-kq^{-k+1}<1
因此,我们需要满足:
q^k-kq^{-k+1}>{n \choose 2}
当E小于1/2时,我们需要满足:
E={n \choose 2} (1-1/q)^k<1/2
代入上式,我们有:
{n \choose 2} (1-1/q)^k<{n \choose 2}/(2q^k-kq^{-k+1})<1/2
因此,我们需要满足:
q^k-kq^{-k+1}>{n \choose 2}/(2-1/q^k)
综上所述,我们可以通过计算上述不等式来确定随机选择矩阵H的概率,使得对应的线性码的最小距离不小于GV界。如果上述不等式成立,则我们可以说对于大多数随机矩阵H,其对应的线性码的最小距离都不小于GV界,这就是所谓的“高概率”情况。
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