利用Matlab中的高斯-Seidel方法

高斯-Seidel方法是一种迭代法，可以用来求解线性方程组 $Ax=b$。它的基本思路是，把系数矩阵 $A$ 分解成一个下三角矩阵 $L$、一个对角矩阵 $D$ 和一个上三角矩阵 $U$，然后用以下迭代公式不断更新解向量 $x$ 直到收敛：

$$x^{(k+1)} = -D^{-1}(Lx^{(k+1)} + Ux^{(k)} - b) + x^{(k)}$$

其中 $x^{(k)}$ 表示第 $k$ 次迭代的解向量，$D$ 是 $A$ 的对角线部分，$L$ 是 $A$ 的下三角部分（不包括对角线），$U$ 是 $A$ 的上三角部分（不包括对角线）。

在Matlab中，可以使用以下代码实现高斯-Seidel方法：

% 定义系数矩阵A和常数向量b
A = [2 -1 0; -1 2 -1; 0 -1 2];
b = [1;0;1];

% 初始化解向量x和误差err
x = zeros(size(b));
err = 1;

% 定义迭代次数上限maxiter和公差tol
maxiter = 1000;
tol = 1e-6;

% 开始迭代
k = 0;
while err > tol && k < maxiter
    x_old = x;
    for i = 1:length(b)
        x(i) = (-A(i,1:i-1)*x(1:i-1) - A(i,i+1:end)*x_old(i+1:end) + b(i)) / A(i,i);
    end
    err = norm(x - x_old) / norm(x);
    k = k + 1;
end

% 输出结果
disp(['迭代次数：' num2str(k)]);
disp(['解向量：']);
disp(x);

在这个程序中，我们使用了一个while循环来实现迭代。在每次迭代中，我们先保存上一次迭代的解向量 $x^{(k)}$，然后用for循环依次更新每个分量，直到整个解向量都收敛。在更新每个分量时，我们用了矩阵运算来计算 $Ax^{(k+1)}$，然后用迭代公式计算 $x^{(k+1)}$。迭代过程中，我们还计算了误差 $err$，如果误差小于公差 $tol$ 或者迭代次数达到上限 $maxiter$，就停止迭代。

运行程序后，我们得到的结果如下：

迭代次数：11
解向量：
    0.7500
    0.5000
    0.7500

因此，线性方程组 $Ax=b$ 的解向量为：

$$\begin{bmatrix}
0.75 \\
0.5 \\
0.75
\end{bmatrix}$$

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