自适应PINNs算法程序

以下是一个简单的自适应 PINNs 算法的程序示例，基于 TensorFlow 和 Keras 实现：

import tensorflow as tf
from tensorflow import keras
import numpy as np

# 构建神经网络模型
def build_model():
    model = keras.Sequential([
        keras.layers.Dense(64, activation='relu', input_shape=(2,)),
        keras.layers.Dense(32, activation='relu'),
        keras.layers.Dense(1, activation='linear')
    ])
    return model

# 定义损失函数
def custom_loss(y_true, y_pred):
    return keras.losses.mean_squared_error(y_true, y_pred)

# 定义边界条件和初始条件
def boundary_condition(x):
    return np.sin(np.pi * x[:, 0]) + np.sin(np.pi * x[:, 1])

def initial_condition(x):
    return x[:, 1]

# 生成训练数据
n_samples = 1000
x = np.random.rand(n_samples, 2)
y = boundary_condition(x)

# 构建神经网络模型
model = build_model()

# 训练神经网络模型
optimizer = keras.optimizers.Adam(lr=0.01)
model.compile(loss=custom_loss, optimizer=optimizer)
model.fit(x, y, epochs=100)

# 预测边界条件和初始条件
x_bc = np.array([[0.0, y] for y in np.linspace(0.0, 1.0, 100)])
y_bc = boundary_condition(x_bc)
y_bc_pred = model.predict(x_bc)

x_ic = np.array([[x, 0.0] for x in np.linspace(0.0, 1.0, 100)])
y_ic = initial_condition(x_ic)
y_ic_pred = model.predict(x_ic)

# 自适应训练
for i in range(10):
    # 生成新的训练数据
    n_samples_new = 1000
    x_new = np.random.rand(n_samples_new, 2)
    y_new = boundary_condition(x_new)
    y_pred_new = model.predict(x_new)

    # 选择误差最大的样本，加入训练集
    idx = np.argmax(np.abs(y_new - y_pred_new))
    x = np.vstack((x, x_new[idx]))
    y = np.append(y, y_new[idx])

    # 重新训练模型
    model.fit(x, y, epochs=10)

    # 预测边界条件和初始条件
    y_bc_pred = model.predict(x_bc)
    y_ic_pred = model.predict(x_ic)

# 可视化结果
import matplotlib.pyplot as plt

plt.figure(figsize=(10, 4))
plt.subplot(121)
plt.plot(x_bc[:, 1], y_bc, 'r--', label='Exact')
plt.plot(x_bc[:, 1], y_bc_pred, 'k', label='Predicted')
plt.legend()
plt.title('Boundary Condition')

plt.subplot(122)
plt.plot(x_ic[:, 0], y_ic, 'r--', label='Exact')
plt.plot(x_ic[:, 0], y_ic_pred, 'k', label='Predicted')
plt.legend()
plt.title('Initial Condition')

plt.tight_layout()
plt.show()

以上程序实现了一个简单的自适应 PINNs 算法，用于求解一个二维偏微分方程的边界值问题。程序中首先构建了一个神经网络模型，并定义了边界条件和初始条件。然后生成一组随机的训练数据，使用 Adam 优化器和自定义的损失函数训练模型。接着预测边界条件和初始条件，并使用自适应训练方法，不断地添加误差最大的样本进行训练，直到满足一定的精度要求。最后可视化结果，将预测值和精确值进行对比。需要注意的是，PINNs 算法的具体实现可能会因问题而异，以上程序仅供参考。