傅里叶变换-重要公式.pdf
### 傅里叶变换-重要公式解析 #### 一、傅里叶级数 **傅里叶级数**是一种将周期信号分解成一系列不同频率的正弦波和余弦波的方法。根据文档中的描述,这里主要介绍了两种形式的傅里叶级数:三角函数形式和虚指数形式。 ##### 1. 三角函数形式的傅里叶级数 **表达式**: \[ f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos(n\omega_0 t) + b_n \sin(n\omega_0 t) \right] \] 其中,\(\omega_0\) 是基波角频率,\(a_n\) 和 \(b_n\) 分别是傅里叶系数,可以通过以下公式计算得到: \[ \begin{aligned} a_0 &= \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) dt \\ a_n &= \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \cos(n\omega_0 t) dt \\ b_n &= \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \sin(n\omega_0 t) dt \end{aligned} \] 这里的 \(T\) 表示周期,\(\omega_0 = \frac{2\pi}{T}\)。 **另一种形式**,也可以写成复指数形式: \[ f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{jn\omega_0 t} \] 其中, \[ c_n = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-jn\omega_0 t} dt \] **傅里叶系数之间的关系**: \[ \begin{aligned} a_n &= c_n + c_{-n}^* \\ b_n &= j(c_n - c_{-n}^*) \\ c_n &= \frac{1}{2}(a_n - jb_n) \\ c_{-n}^* &= \frac{1}{2}(a_n + jb_n) \end{aligned} \] 其中,\(*\) 表示复共轭。 ##### 2. 虚指数形式的傅里叶级数 **表达式**: \[ f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n e^{jn\omega_0 t} \] 傅里叶系数 \(F_n\) 的计算公式为: \[ F_n = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-jn\omega_0 t} dt \] **系数之间的转换关系**: \[ \begin{aligned} F_n &= \frac{1}{2}(c_n + c_{-n}) \\ c_n &= F_n + (-1)^n F_{-n} \end{aligned} \] #### 二、周期信号的平均功率 **定义**:周期信号的平均功率可以通过以下公式计算: \[ P = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} |f(t)|^2 dt \] 这也可以通过傅里叶系数来表示: \[ P = \frac{|a_0|^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{|a_n|^2 + |b_n|^2}{2} \right) \] 或者使用虚指数形式的傅里叶系数: \[ P = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |F_n|^2 \] 这表明周期信号的平均功率等于其直流、基波及各次谐波分量的有效值平方之和。 #### 三、周期信号的频谱 **频谱的概念**:周期信号的频谱可以通过以下方式直观地表示出来: 1. **幅度频谱**:以频率为横坐标,以各次谐波的幅度 \(|c_n|\) 或虚指数函数的幅度 \(|F_n|\) 为纵坐标。 2. **相位频谱**:以频率为横坐标,以各次谐波的相位 \(ϕ_n\) 为纵坐标。 **周期信号频谱的特点**: 1. **离散性**:频谱由不连续的线条组成,每一条线代表一个正弦分量。 2. **谐波性**:频谱的每条谱线都只能出现在基波频率 \(\omega_0\) 的整数倍的频率上。 3. **收敛性**:随着谐波次数的增加,各次谐波的振幅逐渐减小。 #### 四、傅里叶变换 **傅里叶变换的定义**: 1. **傅里叶正变换**:用于将时间域信号转换到频率域。 \[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt \] 2. **傅里叶逆变换**:用于将频率域信号转换回时间域。 \[ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d\omega \] 傅里叶变换提供了一种从时间域到频率域转换的方法,对于分析和处理信号非常有用。在实际应用中,傅里叶变换被广泛应用于信号处理、通信工程、图像处理等领域。