研究不同长度的矩形信号的卷积过程,并给出结果
时间: 2024-03-29 07:39:32 浏览: 38
设矩形信号 $f(t)$ 的长度为 $T_1$,另一信号 $g(t)$ 的长度为 $T_2$。则它们的卷积 $h(t)$ 定义为:
$$h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\tau)d\tau$$
当 $f(t)$ 为矩形信号时,有:
$$f(t)=\begin{cases}1, &|t|<\frac{T_1}{2}\\ 0, &\text{otherwise}\end{cases}$$
将 $f(t)$ 和 $g(t)$ 带入卷积公式中,得:
$$h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\tau)d\tau=\int_{t-\frac{T_1}{2}}^{t+\frac{T_1}{2}}g(\tau)d\tau$$
根据不同的 $T_1$ 和 $T_2$,可以得到不同的卷积结果,以下给出一些例子:
1. 当 $T_1=T_2=1$ 时,矩形信号 $f(t)$ 和 $g(t)$ 形状相同,且长度相同。此时,卷积结果 $h(t)$ 形状为三角形,如下图所示:
![卷积结果为三角形](https://img-blog.csdnimg.cn/20211210161708705.png)
2. 当 $T_1=1$,$T_2=2$ 时,矩形信号 $g(t)$ 长度为 $2$,比 $f(t)$ 长。此时,卷积结果 $h(t)$ 形状为梯形,如下图所示:
![卷积结果为梯形](https://img-blog.csdnimg.cn/2021121016174484.png)
3. 当 $T_1=2$,$T_2=1$ 时,矩形信号 $f(t)$ 长度为 $2$,比 $g(t)$ 长。此时,卷积结果 $h(t)$ 形状为梯形,如下图所示:
![卷积结果为梯形](https://img-blog.csdnimg.cn/20211210161813341.png)
4. 当 $T_1=2$,$T_2=3$ 时,矩形信号 $g(t)$ 长度为 $3$,比 $f(t)$ 长。此时,卷积结果 $h(t)$ 形状为带有“拐角”的梯形,如下图所示:
![卷积结果为带有“拐角”的梯形](https://img-blog.csdnimg.cn/20211210161839870.png)
可以看出,卷积结果的形状和长度与矩形信号的长度和形状有密切关系。当矩形信号的长度和形状变化时,卷积结果也会随之变化。
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