R语言牛顿法求解多元方程,推导未知参数的牛顿法递推公式,推导未知参数的费希尔得分公式
时间: 2023-06-20 08:08:52 浏览: 169
牛顿法是一种迭代方法,用于求解非线性方程组。在多元方程的情况下,牛顿法可以表示为以下形式:
![牛顿法公式](https://img-blog.csdnimg.cn/20210721193256832.png)
其中,J(x) 是方程组 f(x) 的 Jacobian 矩阵,即:
![Jacobian矩阵](https://img-blog.csdnimg.cn/20210721193319456.png)
x_n+1 是下一次迭代的近似解,x_n 是当前的近似解,f(x_n) 是方程组在当前近似解处的函数值,J(x_n) 是 Jacobian 矩阵在当前近似解处的值,^-1 表示矩阵的逆。
对于牛顿法的推导,需要确定初始猜测值 x_0 和迭代次数 n,然后利用上述公式进行迭代,直到满足停止条件为止。
费希尔得分是一种用于估计多元正态分布中未知参数的方法,其公式如下:
![费希尔得分公式](https://img-blog.csdnimg.cn/2021072119341092.png)
其中,x 是样本数据,μ 和 Σ 是多元正态分布的均值和协方差矩阵,θ 是未知参数,p 是样本数据的个数,k 是变量的个数。
费希尔得分公式可以用于推导牛顿法的递推公式。具体地,假设我们要最小化一个目标函数 f(θ),那么对于牛顿法的第 k 次迭代,更新的递推公式可以表示为:
![牛顿法递推公式](https://img-blog.csdnimg.cn/20210721193442975.png)
其中,H_k 是目标函数 f(θ) 在当前迭代点处的 Hessian 矩阵,即:
![Hessian矩阵](https://img-blog.csdnimg.cn/2021072119350588.png)
g_k 是目标函数 f(θ) 在当前迭代点处的梯度向量,即:
![梯度向量](https://img-blog.csdnimg.cn/20210721193525756.png)
^-1 表示矩阵的逆,Δθ_k 是牛顿法的第 k 次迭代步长,即:
![迭代步长](https://img-blog.csdnimg.cn/20210721193552833.png)
其中,Δg_k 是目标函数 f(θ) 在当前迭代点处的梯度向量的变化量,即:
![梯度向量变化量](https://img-blog.csdnimg.cn/20210721193611912.png)
ΔH_k 是目标函数 f(θ) 在当前迭代点处的 Hessian 矩阵的变化量,即:
![Hessian矩阵变化量](https://img-blog.csdnimg.cn/20210721193630828.png)
需要注意的是,牛顿法只能用于求解可导函数的最小值,因此在实际应用中需要保证目标函数是可导的。此外,牛顿法对初始猜测值的选取比较敏感,需要根据实际问题进行调整。