离散小波公式由连续小波推到

离散小波变换的公式可以从连续小波变换（CWT）推导得到。CWT 将原始信号分解为一组连续的小波基。而 DWT 则是将连续小波基离散化，从而可以在计算机上实现。下面是由 CWT 推导到 DWT 的过程：

假设原始信号为 $x(t)$，小波函数为 $\psi(t)$，则 CWT 的公式为：

$$
C(a,b) = \frac{1}{\sqrt{a}} \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \cdot \psi^*\left(\frac{t-b}{a}\right) dt
$$

其中，$a$ 控制小波函数的尺度，$b$ 控制小波函数的位置，$\psi^*$ 是小波函数的共轭。CWT 将信号 $x(t)$ 分解为一组连续的小波基 $C(a,b)$。

为了将连续小波基离散化，我们可以将 $x(t)$ 和 $\psi(t)$ 离散化为 $x[n]$ 和 $\psi[n]$，并将积分变为求和。同时，我们只考虑 $a$ 为 2 的幂次的情况，这样可以将信号 $x(t)$ 分解为一组长度为 $2^j$ 的小波基。这样，我们就可以得到 DWT 的公式：

$$
a_j[n] = \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k] \cdot a_{j+1}[2n-k]
$$

$$
d_j[n] = \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{k=-\infty}^{\infty} g[k] \cdot a_{j+1}[2n-k]
$$

其中，$a_j[n]$ 和 $d_j[n]$ 分别是第 $j$ 层的逼近系数和细节系数。$h[k]$ 和 $g[k]$ 分别是第 $j$ 层的小波函数和小波函数的共轭，它们可以通过连续小波函数 $\psi(t)$ 得到。这样，我们就可以将连续小波变换推导到离散小波变换。