小波变换概览：从连续到离散

"小波变换是一种在数字通信和现代信号处理领域中重要的分析工具，尤其在非平稳信号分析和多分辨率分析中起到关键作用。本文档总结了小波变换的主要概念，包括连续小波变换（CWT）、离散栅格上的小波变换（DWT）以及相关的算法和应用。" 在《digital communication 3rd edition by john r. barry edward a. lee》中，作者探讨了小波变换的核心概念： 1. 连续小波变换（Continuous Wavelet Transform, CWT） CWT通过公式(10.8.1)定义，其中\( \psi(t) \)是小波基函数，\( a \)是尺度参数，\( b \)是位移参数。这个变换允许对信号进行不同分辨率的分析，因为尺度参数\( a \)可以取非整数值，从而适应不同的细节分析需求。CWT的计算可以通过数值积分、CZT（复Z变换）或基于梅林变换的快速算法来实现。 2. 离散栅格上的小波变换（Discrete Wavelet Transform, DWT） DWT如公式(10.8.2)所示，它是在离散时间轴上进行的。\( \psi_{kj} \)是对偶小波，如果\( \psi_{kj} \)是正交小波，那么对偶小波和原始小波之间的关系满足\( \psi_{kj}(t) = \psi^*_{-k,-j}(t) \)。DWT通常涉及下采样操作，如图中所示的H0(z)和H1(z)滤波器，用于构建多分辨率分析框架。 在《现代信号处理教程》胡广书编著中，小波变换作为时-频分析的一部分，被详细讲解。书中涵盖了短时傅立叶变换、Gabor展开、Wigner分布和Cohen类分布，强调了Wigner分布的性质、交叉项行为以及核函数在抑制交叉项中的作用。此外，书中还讨论了信号的抽取、插值、多相表示和滤波器组，这些都是多抽样率信号处理的重要内容。最后，小波变换部分介绍了基本概念、离散小波变换的多分辨率分析、实现方法、正交小波和双正交小波的构造，以及小波包的基本概念。 小波变换与短时傅立叶变换和滤波器组有紧密联系。小波变换作为一种时-频分布，扩展了第一篇内容的时间-频率分析，而滤波器组则是实现小波变换的关键技术，它可以按照需要对信号频谱进行分割，为信号处理提供灵活的工具。 小波变换在现代信号处理中扮演着重要角色，它结合了时间和频率域的信息，适用于非平稳信号的分析，并且在图像压缩、故障诊断、语音识别等多个领域有广泛的应用。通过离散和连续两种形式，小波变换能够适应不同场景的需求，提供丰富的信号解析能力。