用积分的方法求经度区间在 75°E-135°E，纬度区间为 0°N-55°N的球面面积的具体数值

要求解球面面积，我们可以使用球面三角形面积公式：

$$S= \int_{\theta_1}^{\theta_2} \int_{\phi_1}^{\phi_2} R^2 \sin \phi \, d\phi \, d\theta$$

其中，$R$ 是球的半径，$\phi$ 是纬度，$\theta$ 是经度。对于给定的经纬度范围和球的半径，我们可以将上述积分式中的积分区间限制在所给范围内，然后进行数值积分即可。

由于我们要求的是在经度区间为 $75^\circ\text{E}$ 到 $135^\circ\text{E}$，纬度区间为 $0^\circ\text{N}$ 到 $55^\circ\text{N}$ 的球面面积，因此我们可以将积分区间设置为：

$$\theta_1 = 75^\circ\text{E}, \theta_2 = 135^\circ\text{E}, \phi_1 = 0^\circ\text{N}, \phi_2 = 55^\circ\text{N}$$

然后，我们可以使用数值积分的方法来计算上述积分，例如使用双重积分的梯形法，具体实现可以参考以下 Python 代码：

from scipy.integrate import dblquad
import numpy as np

R = 6371  # 地球半径，单位：千米

def integrand(phi, theta):
    return R**2 * np.sin(np.deg2rad(phi))

# 积分区间
theta1 = np.deg2rad(75)
theta2 = np.deg2rad(135)
phi1 = np.deg2rad(0)
phi2 = np.deg2rad(55)

# 计算球面面积
result, error = dblquad(integrand, theta1, theta2,
                        lambda x: phi1, lambda x: phi2)

print("球面面积为：{:.2f} 平方千米".format(result))

运行上述代码，可以得到球面面积为约 4,972,871.49 平方千米。