证明：当x0＞0时，lim√x＝√x0(x→x0)

要证明lim√x＝√x0(x→x0)，即证明对于任意ε＞0，存在δ＞0，使得当0＜|x−x0|＜δ时，有|√x−√x0|＜ε。

考虑将|√x−√x0|拆分成|(√x−√x0)(√x+√x0)/(√x+√x0)|，得到|√x−√x0|＝|x−x0|/(√x+√x0)。

因此，我们需要找到一个δ，使得当0＜|x−x0|＜δ时，有|x−x0|/(√x+√x0)＜ε。

考虑当x＞0时，有√x+√x0＞2√x0，因此，

|x−x0|/(√x+√x0)＜|x−x0|/(2√x0)。

因此，我们只需要找到一个δ，使得当0＜|x−x0|＜δ时，有|x−x0|/(2√x0)＜ε。

根据极限的定义，我们可以找到一个δ＝ε^2*√x0，使得当0＜|x−x0|＜δ时，有|x−x0|＜ε^2*√x0，从而有：

|x−x0|/(2√x0)＜ε^2

|x−x0|/(√x+√x0)＜ε

因此，当x0＞0时，有lim√x＝√x0(x→x0)。

相关问题

设多项式 P(x)=∑aix^i，Q(x)=∑bix^i，Q(x0)≠o,证明 lim x→xo P(x)/Q(x)=P(x0)/Q(x0)

根据题意，我们需要证明

lim x→xo P(x)/Q(x) = P(x0)/Q(x0)

我们可以将 P(x) 和 Q(x) 在 x0 处泰勒展开，得到：

P(x) = P(x0) + P'(x0)(x - x0) + P''(x0)(x - x0)^2 + ...
Q(x) = Q(x0) + Q'(x0)(x - x0) + Q''(x0)(x - x0)^2 + ...

因为 Q(x0) ≠ 0，所以 Q(x) 在 x0 处是连续的。因此，我们可以将上述展开式改写为：

P(x) = P(x0) + P'(x0)(x - x0) + P''(x0)(x - x0)^2 + ...
Q(x) = Q(x0)[1 + (x - x0)g(x)]

其中 g(x) = Q'(x0)/Q(x0) + Q''(x0)(x - x0)/Q(x0) + ...

因为 P(x) 和 Q(x) 都是多项式，所以它们在 x0 处连续。因此，我们可以将上述展开式代入 P(x)/Q(x)，得到：

P(x)/Q(x) = [P(x0) + P'(x0)(x - x0) + P''(x0)(x - x0)^2 + ...]/[Q(x0)[1 + (x - x0)g(x)]]

接下来，我们需要证明 lim x→xo P(x)/Q(x) = P(x0)/Q(x0)。根据极限的定义，我们需要证明：

对于任意 ε > 0，存在 δ > 0，使得当 0 < |x - x0| < δ 时，|P(x)/Q(x) - P(x0)/Q(x0)| < ε。

现在，我们来构造满足上述条件的 δ。首先，我们可以假设 Q(x) 在 (x0 - δ, x0 + δ) 内不为 0。因为 Q(x0) ≠ 0，所以我们可以找到一个小的正数 ε1，使得 |Q(x) - Q(x0)| < |Q(x0)|/2 对于所有满足 0 < |x - x0| < ε1 的 x 成立。

接下来，我们需要找到一个正数 δ1，使得对于所有满足 0 < |x - x0| < δ1 的 x，有：

|P(x) - P(x0)| < ε1/2
|(x - x0)Q(x) - (x0 - x)Q(x0)| < ε1/2

因为 P(x) 和 Q(x) 都是多项式，所以它们在 x0 处连续。因此，我们可以找到一个正数 δ1，使得对于所有满足 0 < |x - x0| < δ1 的 x，有：

|P(x) - P(x0)| < ε1/2
|Q(x) - Q(x0)| < |Q(x0)|/2

对于这个 δ1，我们有：

|P(x)/Q(x) - P(x0)/Q(x0)| = |[P(x) - P(x0)]/Q(x) + P(x0)[1/Q(x) - 1/Q(x0)]|

因为 Q(x0) ≠ 0，所以我们可以找到一个小的正数 ε2，使得对于所有满足 |1/Q(x) - 1/Q(x0)| < ε2 的 x，有：

|P(x)/Q(x) - P(x0)/Q(x0)| < ε/2

现在，我们需要证明当 0 < |x - x0| < δ 时，|1/Q(x) - 1/Q(x0)| < ε2。我们有：

|1/Q(x) - 1/Q(x0)| = |Q(x0) - Q(x)|/|Q(x)Q(x0)|

因为 |Q(x) - Q(x0)| < |Q(x0)|/2，所以有：

|1/Q(x) - 1/Q(x0)| < 2|Q(x0) - Q(x)|/|Q(x0)|^2

接下来，我们需要证明当 0 < |x - x0| < δ 时，|Q(x0) - Q(x)|/|Q(x0)|^2 < ε2/2。因为 Q(x) 在 (x0 - δ, x0 + δ) 内不为 0，所以我们可以找到一个小的正数 δ2，使得对于所有满足 0 < |x - x0| < δ2 的 x，有：

|Q(x) - Q(x0)| < |Q(x0)|/2

我们可以取 δ = min(δ1, δ2)，则当 0 < |x - x0| < δ 时，有：

|P(x)/Q(x) - P(x0)/Q(x0)| < ε/2 + ε/2 = ε

因此，我们证明了 lim x→xo P(x)/Q(x) = P(x0)/Q(x0)。

设 f (x) 在a,+) 上连续，且 lim ( ) ( )d →+   + =    x x a f x f t t A，证明：lim ( )d →+ =  x x a f t t A， lim ( ) 0 x f x →+ = .

根据给定的函数和极限，我们可以利用极限的性质和积分的定义来证明这个结论。

首先，我们注意到根据题目中的条件，函数 f(x) 在区间 [a, +∞) 上连续。因此，我们可以将积分的上限从 t 变为 x，并且不改变积分的值。即：

lim ( )d

→+∞

= lim ( )d

→+∞

= lim ( )d

→+∞

= lim ( )d

→+∞

= lim ( )d

→+∞

其中，我们利用了积分的性质，将积分的上限从 t 变为 x。

接下来，我们可以将被积函数拆分成两个部分：

f(t) - A = [f(t) - f(x)] + [f(x) - A]

根据极限的性质，我们有：

lim ( )d

→+∞

= lim ( [f(t) - f(x)] + [f(x) - A])d

→+∞

由于 f(x) 在区间 [a, +∞) 上连续，我们知道对于任意 ε > 0，存在一个常数 δ > 0，当 |x - t| < δ 时，有 |f(x) - f(t)| < ε。因此，我们可以将上式中的第一项 [f(t) - f(x)] 控制在一个足够小的范围内。

对于第二项 [f(x) - A]，由于 lim ( )d

→+∞

= 0，我们可以选择一个足够大的 x0，使得当 x > x0 时，有 |f(x) - A| < ε/2。

综上所述，我们可以得到：

lim ( )d

→+∞

= lim ( [f(t) - f(x)] + [f(x) - A])d

→+∞

≤ lim ( [f(t) - f(x)])d

→+∞

+ lim ([f(x) - A])d

→+∞

= 0 + 0 = 0

因此，我们证明了所给结论：

lim ( )d

→+∞

= 

x
x a

f t t A，

lim ( ) 0

x

f x

→+∞

= 0.