程序实现普里姆算法和克鲁斯卡尔算法求最小生成树
时间: 2023-07-22 12:40:10 浏览: 76
好的,下面我会分别介绍普里姆算法和克鲁斯卡尔算法,并给出它们的代码实现。
### 普里姆算法
普里姆算法是一种贪心算法,用于求解加权无向连通图的最小生成树。该算法从任意一个顶点开始,每次选择一条权值最小的边,将其加入到生成树中,直到所有顶点都被加入到生成树中为止。
普里姆算法的时间复杂度为 $O(ElogV)$,其中 $V$ 表示顶点数,$E$ 表示边数。
下面是普里姆算法的 Python 代码实现:
```python
import heapq
def prim(graph, start):
mst = [] # 用于存储最小生成树的边
visited = set([start]) # 记录已经访问过的节点
candidates = [(weight, start, end) for end, weight in graph[start].items()]
heapq.heapify(candidates) # 将初始的候选边加入小根堆中
while candidates:
weight, start, end = heapq.heappop(candidates)
if end not in visited: # 如果当前边的终点没有被访问过
visited.add(end)
mst.append((start, end, weight))
for next_end, weight in graph[end].items():
if next_end not in visited:
heapq.heappush(candidates, (weight, end, next_end)) # 将新的候选边加入小根堆中
return mst
```
其中,`graph` 是一个字典,表示图的邻接表形式,`start` 是起始节点的编号。
### 克鲁斯卡尔算法
克鲁斯卡尔算法也是一种贪心算法,用于求解加权无向连通图的最小生成树。该算法的基本思想是,将所有边按照权值从小到大排序,依次取出每条边,如果这条边的两个端点不在同一个连通块中,就将它们合并,直到所有节点都在同一个连通块中为止。
克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为 $O(ElogE)$,其中 $E$ 表示边数。
下面是克鲁斯卡尔算法的 Python 代码实现:
```python
def kruskal(graph):
edges = [(weight, start, end) for start in graph for end, weight in graph[start].items()]
edges.sort() # 将所有边按照权值从小到大排序
parent = {node: node for node in graph} # 用于记录每个节点的父节点
mst = [] # 用于存储最小生成树的边
for weight, start, end in edges:
while start != parent[start]: # 找到 start 的根节点
start = parent[start]
while end != parent[end]: # 找到 end 的根节点
end = parent[end]
if start != end: # 如果 start 和 end 不在同一个连通块中
mst.append((start, end, weight))
parent[end] = start # 将 end 的根节点设为 start 的根节点
return mst
```
其中,`graph` 是一个字典,表示图的邻接表形式。
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