有一个序列:2/1,3/2.5/3,8/5,13/8,21/13求这个序列前20项只和

根据序列的定义，这个序列的第 $n$ 项为 $\frac{F_{n+2}}{F_{n+1}}$，其中 $F_n$ 表示斐波那契数列的第 $n$ 项。因此，这个序列前 $20$ 项分别为：

$$
\frac{F_4}{F_3},\frac{F_5}{F_4},\frac{F_6}{F_5},\frac{F_7}{F_6},\frac{F_8}{F_7},\frac{F_9}{F_8},\frac{F_{10}}{F_9},\frac{F_{11}}{F_{10}},\frac{F_{12}}{F_{11}},\frac{F_{13}}{F_{12}},\frac{F_{14}}{F_{13}},\frac{F_{15}}{F_{14}},\frac{F_{16}}{F_{15}},\frac{F_{17}}{F_{16}},\frac{F_{18}}{F_{17}},\frac{F_{19}}{F_{18}},\frac{F_{20}}{F_{19}},\frac{F_{21}}{F_{20}},\frac{F_{22}}{F_{21}},\frac{F_{23}}{F_{22}}
$$

其中 $F_n$ 可以用以下公式计算：

$$
F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n
$$

因此，这个序列前 $20$ 项的和为：

$$
\sum_{n=4}^{23}\frac{F_{n+2}}{F_{n+1}} \approx 21.0074
$$

其中 $\approx$ 表示约等于。