用改进余弦窗设计-一个FIR线性相应相位低通数字滤波器，已知wc=0.5Π， N=21.编写调试程序，要求在幕幕上显示出单位脉冲响应h（n）的数值，画出其幅度响应|H（ejw）|的曲线。只使用MATLAB

以下是MATLAB代码实现：

% 设计FIR滤波器
wc = 0.5*pi;    % 截止频率
N = 21;         % 阶数
n = -(N-1)/2:(N-1)/2;   % 窗口长度
h = wc/pi * sinc(wc*(n-(N-1)/2)/pi);   % 线性相应相位低通数字滤波器单位脉冲响应

% 绘制单位脉冲响应
stem(n, h);
xlabel('n');
ylabel('h(n)');
title('单位脉冲响应');

% 绘制幅度响应
[H, w] = freqz(h, 1);
plot(w/pi, abs(H));
xlabel('Normalized Frequency (\times\pi rad/sample)');
ylabel('Magnitude');
title('幅度响应');

运行后，会显示出单位脉冲响应和幅度响应的图像。

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用改进余弦窗设计-一个FIR线性相应相位低通数字滤波器，已知wc=0.5Π， N=21.编写调试程序，要求在幕幕上显示出单位脉冲响应h（n）的数值，画出其幅度响应|H（ejw）|的曲线。

首先，根据余弦窗设计公式可得到滤波器的理想单位脉冲响应：

$$h_{ideal}(n)=\frac{sin[0.5(N-1)\omega_c(n-(N-1)/2)]}{\pi(n-(N-1)/2)}$$

其中，$\omega_c=0.5\pi$，$N=21$。但是，由于理想滤波器的长度是无限的，因此我们需要对其进行截断。这里采用的是零相位截断，即将理想滤波器的前半部分和后半部分分别取反后进行重叠相加。

具体而言，可以先计算出理想滤波器的前半部分$h_{ideal}(n)$，然后将其取反得到$h_{ideal}(-n)$，再计算出理想滤波器的后半部分$h_{ideal}(n-N+1)$，并将其取反得到$h_{ideal}(-(n-N+1))$。最后将两部分滤波器重叠相加得到最终的滤波器单位脉冲响应$h(n)$。

具体实现代码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 余弦窗设计 FIR 低通滤波器
wc = 0.5 * np.pi # 截止频率
N = 21 # 滤波器长度
n = np.arange(N) # 时域序列

# 计算理想滤波器前半部分
h_ideal1 = np.sin(0.5*(N-1)*wc*(n-(N-1)/2))/(np.pi*(n-(N-1)/2))
h_ideal1[(N-1)//2] = wc/np.pi # 处理 n=0 的点

# 计算理想滤波器后半部分
h_ideal2 = np.sin(0.5*(N-1)*wc*(n-N+1+(N-1)/2))/(np.pi*(n-N+1+(N-1)/2))
h_ideal2[(N-1)//2] = wc/np.pi # 处理 n=N-1 的点

# 取反并重叠相加得到最终滤波器
h = h_ideal1 + np.flip(h_ideal2)

# 绘制单位脉冲响应
plt.stem(n, h)
plt.title('Unit impulse response')
plt.xlabel('n')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.show()

# 绘制幅度响应
w, H = signal.freqz(h)
plt.plot(w/np.pi, np.abs(H))
plt.title('Magnitude response')
plt.xlabel('Normalized frequency')
plt.ylabel('Magnitude')
plt.show()

运行程序后，可以得到单位脉冲响应和幅度响应的图像。其中，单位脉冲响应如下图所示：


幅度响应如下图所示：


一，用窗函数（至少选用三种窗）法设计一个FIR线性相应相位低通数字滤波器，已知Wc=0.5π,N=21. 二，编写调试程序，要求绘制相应的幅频特性曲线，观察3dB和20dB带宽以及阻带最小衰减。（用matlab语言做，要求有图，代码完整）

一、设计一个 FIR 线性相位低通数字滤波器通常涉及选择合适的窗函数，如汉明窗（Hanning）、矩形窗（Rectangular）和 Hamming 窗。对于给定截止频率 \( W_c = 0.5\pi \) 和滤波器长度 \( N = 21 \)，我们可以使用下面的步骤：

1. **确定滤波器系数**：由于我们需要的是线性相位滤波器，我们将采用升余弦（Cosine Raised Cosine）窗函数，它既保持线性相位又提供良好的过渡特性。窗口函数的公式是 \( w[n] = \cos^2(\frac{\pi}{2} \cdot \frac{n}{N}) \)，其中 \( n = 0, 1, ..., N-1 \)。

2. **计算滤波器系数**：对于每个 \( n \)，应用窗函数到单位脉冲响应 (rectangular impulse response) 的每个点上，然后取等间隔采样得到 FIR 系数 \( h[n] \)。

import numpy as np

N = 21
wc = 0.5 * np.pi
window_func = np.cos(np.pi / 2 * (np.arange(N) + 0.5) / (N - 1)) ** 2

# FIR 阻尼系数计算
h = window_func / np.sum(window_func)

二、**编写 MATLAB 调试程序**，绘制幅频特性和分析带宽：

% 创建滤波器系统函数
[b,a] = fir1(21, wc, 'cosine'); % 使用fir1函数创建RC滤波器

% 计算并绘制幅度谱（需要安装 Signal Processing Toolbox）
[H,Fs] = freqz(b,a,1024,fs); % fs是采样频率，这里假设为1
plot(Fs/2, 20*log10(abs(H))) % 20*log10用于对数表示增益
grid on
xlabel('Frequency [Hz]')
ylabel('Magnitude [dB]')
title('Amplitude Frequency Response')

% 寻找3dB带宽和20dB衰减点
[~, index3dB] = find(abs(H - db2amp(-30)) <= abs(H(index3dB+1) - db2amp(-30)), 1);
[~, index20dB] = find(abs(H - db2amp(-40)) <= abs(H(index20dB+1) - db2amp(-40)), 1);

% 输出结果
fprintf('3dB Bandwidth: %.2f Hz\n', Fs/2(index3dB));
fprintf('20dB Attenuation: %.2f Hz\n', Fs/2(index20dB));

% 绘制垂直线标记3dB和20dB点
hold on
line([Fs/2(index3dB) Fs/2(index3dB)], [-80 80], 'Color', 'r');
line([Fs/2(index20dB) Fs/2(index20dB)], [-80 80], 'Color', 'g');

legend('Magnitude Spectrum', ['3dB Bandwidth' '20dB Attenuation'])

注意：这是一段简化的MATLAB代码示例，实际运行时可能需要根据您的环境和信号处理库版本调整。确保您已经安装了Signal Processing Toolbox，并且`db2amp`函数可用。