x1^2+x2^2+2x3^2+2x1x2用正交变换法化为标准二次型

首先，我们需要将该二次型写成矩阵的形式：

Q = [1 1 0; 1 1 0; 0 0 2]

然后，我们对矩阵Q进行特征值分解，得到：

Q = PDP^-1

其中，D是特征值矩阵，P是特征向量矩阵。

特征值矩阵D为：

D = [0 0 0; 0 2 0; 0 0 2]

特征向量矩阵P为：

P = [1/√2 -1/√2 0; 1/√2 1/√2 0; 0 0 1]

然后，我们令：

y = Px

则：

y^TQy = x^TP^TQPx = x^T(D) x

化简得：

y1^2 + 2y2^2 + 2y3^2

因此，经过正交变换后，原二次型化为标准二次型为：

y1^2 + 2y2^2 + 2y3^2