n开n次方减一当n趋近于无穷大的时候极限是多少

当n趋近于无穷大时，n开n次方减一可以写成如下形式：

lim (n^(1/n) - 1) (n趋近于无穷大)

我们可以利用自然对数e的泰勒展开式将指数部分的n^(1/n)转化为一个更容易处理的形式。具体来说，我们有：

n^(1/n) = e^(ln(n^(1/n))) = e^((1/n) * ln(n))

因此，我们可以将原极限写成如下形式：

lim (e^((1/n) * ln(n)) - 1) (n趋近于无穷大)

接下来，我们可以将指数e^((1/n) * ln(n))变形成分式的形式，得到：

e^((1/n) * ln(n)) = (1 + (1/n) * ln(n))^n

然后，我们可以将原极限写成如下形式：

lim ((1 + (1/n) * ln(n))^n - 1) (n趋近于无穷大)

这是一个形式为0^∞的不定式，可以使用指数函数的极限公式来求解。具体来说，我们有：

lim ((1 + (1/n) * ln(n))^n - 1) (n趋近于无穷大)
= e^(lim n * [(1/n) * ln(n)])
= e^(lim ln(n))

因为ln(n)趋近于无穷大，所以这个极限等于正无穷，即：

lim ((1 + (1/n) * ln(n))^n - 1) (n趋近于无穷大) = ∞

因此，n开n次方减一当n趋近于无穷大的极限是正无穷。