n开n次方减一当n趋近于无穷大的时候极限是多少
时间: 2024-01-24 13:20:22 浏览: 39
当n趋近于无穷大时,n开n次方减一可以写成如下形式:
lim (n^(1/n) - 1) (n趋近于无穷大)
我们可以利用自然对数e的泰勒展开式将指数部分的n^(1/n)转化为一个更容易处理的形式。具体来说,我们有:
n^(1/n) = e^(ln(n^(1/n))) = e^((1/n) * ln(n))
因此,我们可以将原极限写成如下形式:
lim (e^((1/n) * ln(n)) - 1) (n趋近于无穷大)
接下来,我们可以将指数e^((1/n) * ln(n))变形成分式的形式,得到:
e^((1/n) * ln(n)) = (1 + (1/n) * ln(n))^n
然后,我们可以将原极限写成如下形式:
lim ((1 + (1/n) * ln(n))^n - 1) (n趋近于无穷大)
这是一个形式为0^∞的不定式,可以使用指数函数的极限公式来求解。具体来说,我们有:
lim ((1 + (1/n) * ln(n))^n - 1) (n趋近于无穷大)
= e^(lim n * [(1/n) * ln(n)])
= e^(lim ln(n))
因为ln(n)趋近于无穷大,所以这个极限等于正无穷,即:
lim ((1 + (1/n) * ln(n))^n - 1) (n趋近于无穷大) = ∞
因此,n开n次方减一当n趋近于无穷大的极限是正无穷。
相关问题
n趋向于无穷大时n开n次方的值
当$n$趋向于无穷大时,$n$开$n$次方的值可以表示为:
$$\lim_{n\rightarrow \infty} n^{\frac{1}{n}}$$
我们可以使用自然对数$e$来求解该极限:
$$\begin{aligned}\lim_{n\rightarrow \infty} n^{\frac{1}{n}} &= \lim_{n\rightarrow \infty} e^{\ln(n^{\frac{1}{n}})}\\&=\lim_{n\rightarrow \infty} e^{\frac{\ln(n)}{n}}\end{aligned}$$
接着,我们将指数函数$e^{\frac{\ln(n)}{n}}$进行泰勒展开:
$$e^{\frac{\ln(n)}{n}}=1+\frac{\ln(n)}{n}+\frac{(\ln(n))^2}{2n^2}+\cdots$$
因为$\ln(n)$增长速度比$n$慢,所以当$n$趋向于无穷大时,$e^{\frac{\ln(n)}{n}}$趋近于$1$。因此,原极限等于$1$。即:
$$\lim_{n\rightarrow \infty} n^{\frac{1}{n}}=1$$
因此,当$n$趋向于无穷大时,$n$开$n$次方的值趋近于$1$。
请说明在x趋近于1的时候1的无穷次方等于e是为什么
很好,我来解释一下。
在数学中,指数e是一个自然常数,约为2.71828。它是自然对数的底数,也是一个非常重要的数字。
如果我们考虑当x趋近于1的时候,那么x的无穷次方就趋近于e。这是因为,当x趋近于1时,x的次方会趋近于e,无论它的次数是多少。
这个结论是通过数学归纳法证明的:对于任意的正整数n,如果x^n趋近于e,那么x^(n+1)也趋近于e。因此,x的无穷次方就趋近于e。
总的来说,这个结论是因为当x趋近于1时,x的次方会比较缓慢地增长,并且很快趋近于e,因此x的无穷次方也趋近于e。
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