c语言 给定一个正整数k 把所有k的方幂及所有有限个互不相等的k的方幂之和构成一个递增的序列

### 回答1：
题目要求给定一个正整数k，把所有有限个互不相等的k的方幂及所有有限个互不相等的k的幂之和构成一个递增的序列。

例如：当k=2时，数列为2,4,8,16,32......

解释：由题意可知，需要构成一个递增的序列。因此，我们首先从k的方幂开始，即2^1,2^2,2^3......不断计算，直到其结果超过了k的幂之和，即1+2+4+8+16+32=63。因为63大于32（即2^5），所以停止计算。接下来，我们从最小的k的幂开始计算，即1+2=3,1+4=5,1+8=9,1+16=17,1+32=33。因为33大于16（即2^4），所以停止计算。最终得到的序列为2,4,8,16,32,3,5,9,17,33......

### 回答2：
对于给定的正整数k，我们需要构造一个递增的序列，这个序列包括k的所有幂次和所有有限个互不相等的k的幂次之和。

首先，我们考虑k的幂次序列。这个序列是从k开始的，每一项都是前一项的k倍。因此，k的幂次序列为：k, k^2, k^3, …, k^n。

接下来，我们考虑所有有限个互不相等的k的幂次之和。假设我们选取了若干个k的幂次，它们的幂次分别为a1,a2,…,an，且a1<a2<⋯<an。那么，它们的和为：

k^a1 + k^a2 + ⋯ + k^an

如果我们再加上k^0，也就是1，那么这些幂次就包括了所有的非负整数，因此它们之和为：

k^0 + k^a1 + k^a2 + ⋯ + k^an

现在，我们将所有k的幂次和有限个互不相等的k的幂次和合并成一个序列，然后再进行排序，就可以得到一个递增的序列。特别地，k^0需要单独考虑，它应该在序列开头。

综上所述，我们可以用以下算法构造递增序列：

1. 初始化一个空序列s
2. 将k^0加入序列s
3. 对于i从1到n，将k的幂次ki加入序列s
4. 对于有限个互不相等的k的幂次，将它们的和加入序列s
5. 对序列s进行排序
6. 返回序列s

这个算法的时间复杂度为O(nlogn)，因为需要对序列进行排序。

### 回答3：
首先需要明确的是，k为正整数时，其方幂序列是单调递增的。因为k的任何方幂都是大于等于1的正整数，而且k的方幂每次乘以k都会比前一个方幂乘以k更大，所以k的方幂序列是单调递增的。

而给定一个正整数k，要求将其所有方幂及有限个互不相等的方幂之和构成一个递增的序列，可以利用数学归纳法进行证明。

首先，当n=1时，只有k^1一个元素，本身就是递增序列。

假设对于任意正整数n<k，k的所有方幂及有限个互不相等的方幂之和都可以构成一个递增的序列。证明n=k时，同样可以构成一个递增的序列。

当n=k时，需要分两种情况讨论：

1）k^m已经在之前的k的方幂序列中出现过，那么k^(m+1)就不需要再次添加进序列中，因为它可以由k^m乘以k得到，也就是说，k^m和k^(m+1)是相等的。

2）k^m没有出现在之前的k的方幂序列中，那么将k^m加入到序列中。此时序列中只有m个元素，因为要求互不相等，所以对于m+1到k-1中剩余的元素，都可以通过前面已经出现过的元素乘以k而得到。例如，当m=2时，序列中已经包含k^1和k^2，那么k^3可以由k^1乘以k^2得到，k^4可以由k^2乘以k^2得到，k^5可以由k^1乘以k^4得到，以此类推。

因此，根据数学归纳法，可得出结论，对于任意正整数k，其所有方幂及有限个互不相等的方幂之和都可以构成一个递增的序列。