有向图邻接矩阵表示法

有向图邻接矩阵表示法是一种常见的图的表示方法，它使用一个二维数组来表示有向图中各个节点之间的关系。

具体来说，如果有一个有向图 G=(V,E)，其中 V={v1,v2,...,vn} 表示节点集合，E 表示边的集合，那么可以使用一个 n×n 的二维数组 A 来表示这个图，其中 A[i][j] 表示从节点 i 到节点 j 是否有一条边。如果有边，那么 A[i][j] 的值为 1；否则，A[i][j] 的值为 0。

更进一步地，如果有向图中的边有权重，那么可以将 A[i][j] 的值改为边的权重。

有向图邻接矩阵表示法的优点是可以快速地判断两个节点之间是否有边，时间复杂度为 O(1)。缺点是如果图比较稀疏，即节点数远大于边数，那么邻接矩阵会占用大量的空间，造成浪费。此外，邻接矩阵表示法也不适合表示带有环的图。

相关问题

有向图和无向图的邻接矩阵表示法及其特点

有向图和无向图都是图论中的两种基本结构，它们描述了顶点之间的连接关系。邻接矩阵是常用的图数据结构之一，用于表示图中各个顶点之间的边。

**1. 有向图邻接矩阵表示法：**
有向图的邻接矩阵是一个二维数组，其中行代表起点，列代表终点，矩阵中的每个元素a[i][j]（0-based索引）表示从第i个顶点到第j个顶点是否存在一条有向边。如果是有向边，则该元素为1或非零；若不存在边，则为0。由于是单向的，邻接矩阵通常是对称性的破坏，即a[i][j]不等于a[j][i]。

**特点：**
- **空间效率高**: 当图中的边数接近于顶点数量的平方时，存储密度较高。
- **查询速度快**: 可直接通过矩阵元素查找两个顶点间是否有边，时间复杂度为O(1)。
- **插入和删除操作较慢**: 如果要添加或删除一条边，需要修改对应的矩阵元素，时间复杂度为O(n)，n为顶点数量。

**2. 无向图邻接矩阵表示法：**
对于无向图，邻接矩阵是对称的，即a[i][j] = a[j][i]，表示两个顶点之间是否有边。同样，元素值为1或其他非零值表示存在边，0表示没有边。

**特点：**
- **空间需求大**: 对于完全连通的无向图，邻接矩阵会占用双倍的空间，因为需要保存双向关系。
- **查询速度相同**: 查询、插入和删除操作的时间复杂度仍然为O(1)。

**相关问题--:**
1. 除了邻接矩阵，还有哪些方法可以表示有向图和无向图？
2. 在稀疏图中，邻接矩阵是否是最优的数据结构？为什么？
3. 如何通过邻接矩阵快速判断两个顶点是否互为邻居？

7-3邻接矩阵 邻接矩阵表示法创建无向图 分数 10

邻接矩阵是一种表示图的数据结构，其中图中的每个节点对应于矩阵中的一个元素，矩阵中的值表示两个节点之间是否有边相连。对于无向图而言，如果节点i和节点j之间存在一条边，则邻接矩阵中第i行第j列和第j行第i列的值都为1；如果两个节点之间没有边相连，则对应位置的值为0。

创建无向图的邻接矩阵表示法需要以下步骤：
1. 创建一个N * N的二维矩阵，其中N为图中节点的数量；
2. 将矩阵中的所有元素初始化为0；
3. 对于每一条边(i, j)，将邻接矩阵中第i行第j列和第j行第i列的值都设置为1。

举个例子，假设有如下无向图：

    1 -- 2
   / \   |
  /   \  |
 4-----3-5

它的邻接矩阵表示法为：

  0 1 2 3 4 5
0 0 1 0 0 1 0
1 1 0 1 0 0 1
2 0 1 0 1 0 1
3 0 0 1 0 1 1
4 1 0 0 1 0 0
5 0 1 1 1 0 0