基于 Legendre 正交多项式的拉格朗日插值基函数

Legendre 正交多项式是一组在区间 $[-1,1]$ 上正交的多项式，其定义为：

$$
P_n(x) = \frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}[(x^2-1)^n]
$$

其中 $n$ 为多项式的次数。Legendre 正交多项式具有如下性质：

1. $P_n(x)$ 的次数为 $n$。
2. $P_n(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上正交，即 $\int_{-1}^{1} P_n(x) P_m(x) dx = \begin{cases}0, & n \neq m \\ \frac{2}{2n+1}, & n=m\end{cases}$。
3. $P_n(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上归一化，即 $\int_{-1}^{1} P_n(x) P_n(x) dx = \frac{2}{2n+1}$。

我们可以利用 Legendre 正交多项式构造拉格朗日插值基函数。设 $x_i$ 是插值节点，$L_i(x)$ 是拉格朗日插值基函数，$P_n(x)$ 是 $n$ 阶 Legendre 正交多项式，则拉格朗日插值基函数可以表示为：

$$
L_i(x) = \frac{1}{\omega_i} \prod_{j\neq i}^{n} \frac{(x-x_j)}{(x_i-x_j)} = \frac{1}{\omega_i} \frac{P_n(x)}{(x-x_i)P_n'(x_i)}
$$

其中 $\omega_i$ 是权重，定义为 $\omega_i = \frac{1}{(1-x_i^2)[P_n'(x_i)]^2}$，$P_n'(x_i)$ 是 $P_n(x)$ 在 $x_i$ 处的导数。

这样，我们就可以用 Legendre 正交多项式构造出基函数来进行拉格朗日插值。此方法的优点是基函数具有正交性，可以提高插值的精度。