梯度下降法求函数最小值例题

假设我们要求函数 $f(x) = x^2 + 2x + 1$ 的最小值，我们可以使用梯度下降法来实现。

首先，我们需要计算函数的导数 $f'(x) = 2x + 2$，然后选取一个初始点 $x_0$，比如 $x_0 = 3$。接着，我们可以使用下面的公式来不断更新参数 $x$ 的值：

$$ x_{n+1} = x_n - \alpha f'(x_n) $$

其中，$n$ 表示迭代次数，$\alpha$ 表示学习率，用来控制每次迭代的步长大小。通常，我们需要手动调整学习率的值，以确保梯度下降的过程能够收敛到最小值。

假设我们选择学习率 $\alpha = 0.1$，则按照上述公式，我们可以计算出第一次迭代后的 $x$ 值为：

$$ x_1 = x_0 - \alpha f'(x_0) = 3 - 0.1 \times (2 \times 3 + 2) = 1.4 $$

接着，我们可以继续使用上述公式，进行多次迭代，直到找到最小值位置。在实际应用中，我们通常需要设置一个迭代次数上限，以避免无限迭代的情况发生。

需要注意的是，梯度下降法只能找到函数的局部最小值，而无法保证找到全局最小值。因此，在实际应用中，我们通常需要多次运行梯度下降算法，使用不同的初始值和学习率，以找到最优的参数值。

相关问题

如何用梯度下降法求函数的最小值

首先，我们需要确定一个损失函数，该函数用来衡量模型的预测结果与真实结果之间的差异。然后，我们需要确定一个初始参数值，在梯度下降的过程中不断调整参数值，使得损失函数的值不断降低，直到达到一个最小值。

具体而言，我们首先计算损失函数对参数的导数，即损失函数的梯度。然后，我们根据梯度的方向和大小，调整参数的值，使得损失函数的值不断降低。这个过程可以重复多次，直到达到一个最小值，即损失函数的局部最小值或全局最小值。

梯度下降求函数最小值python案例

梯度下降是一种常用的求函数极值的优化算法。它通过不断地求函数梯度并更新参数值，来逐步降低函数的损失值，直到收敛为止。在Python中，我们可以很方便地实现梯度下降算法。

假设我们要求函数f(x)在某个区间的最小值，我们可以先定义函数的表达式及其梯度。比如：

def f(x):
return x ** 2 + 2 * x + 1

def grad(x):
return 2 * x + 2

接下来，我们可以初始化参数值x，并设定学习率alpha和迭代次数iteration。在每一次迭代中，我们都要求出函数的梯度grad，并更新参数值x，直到达到迭代次数或函数的损失值收敛为止。代码如下：

x = 0
alpha = 0.1
iteration = 1000
for i in range(iteration):
g = grad(x)
x -= alpha * g
if abs(grad(x)) < 1e-6:
break

最后，我们可以输出函数的最小值和参数值：

print('min f(x) =', f(x))
print('x =', x)

通过梯度下降算法，我们可以得到函数f(x)在该区间的最小值和参数值。这种方法具有广泛的应用，可以用来求解各种数学或工程问题。