为什么AB的转置的秩小于A的转置的秩

对于任意的矩阵A和B，有以下结论：

1. (AB)的转置等于B的转置和A的转置的乘积的逆序，即(AB)^T = B^T A^T。

2. 任意矩阵的秩等于其列向量组的最大线性无关向量数，也等于其行向量组的最大线性无关向量数。

根据以上结论，我们可以得出：AB的转置的列向量组是B的转置的列向量组乘以A的转置的列向量组的逆序后的结果，因此它的秩不会超过A的转置的列向量组的秩和B的转置的列向量组的秩之间的较小值。而A的转置的列向量组的秩等于A的行向量组的秩，B的转置的列向量组的秩等于B的行向量组的秩。由于B的行向量组的秩不会超过B的列向量组的秩，因此AB的转置的秩不会超过A的转置的秩和B的列向量组的秩之间的较小值。由于A的转置的秩不小于A的行向量组的秩，因此A的转置的秩会大于等于AB的转置的秩。因此，AB的转置的秩一定小于A的转置的秩。