ydydz+xdzdx+z×zdxdy,其中积分面为螺旋面x=ucosv,y=usinv,z=v(0<=u<=1,0<=v<=1),并取上侧，计算以上第二类曲面积分

首先将积分面的参数方程转化为笛卡尔坐标系下的表示：

$$
\begin{cases}
x = u \cos v \\
y = u \sin v \\
z = v
\end{cases}
$$

然后计算出对应的偏导数：

$$
\begin{cases}
\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = \begin{pmatrix} \cos v \\ \sin v \\ 0 \end{pmatrix} \\
\frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = \begin{pmatrix} -u \sin v \\ u \cos v \\ 1 \end{pmatrix}
\end{cases}
$$

由于积分面为螺旋面，所以要使用格林公式将曲面积分转化为二重积分：

$$
\iint_S ydydz + zdx dy + x dzdy = \iint_D (-u \sin^2 v + v \cos v) du dv + \iint_D (u \cos v) dv du + \iint_D (u \sin v) dv du
$$

其中 $D$ 表示积分面在 $uv$ 平面上的投影区域，即 $0 \leq u \leq 1, 0 \leq v \leq 2\pi$。

对三个二重积分分别进行计算：

$$
\begin{aligned}
\iint_D (-u \sin^2 v + v \cos v) du dv &= \int_0^{2\pi} \int_0^1 (-u \sin^2 v + v \cos v) du dv \\
&= -\frac{1}{3} \pi
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\iint_D (u \cos v) dv du &= \int_0^{2\pi} \int_0^1 (u \cos v) du dv \\
&= 0
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\iint_D (u \sin v) dv du &= \int_0^{2\pi} \int_0^1 (u \sin v) du dv \\
&= \pi
\end{aligned}
$$

因此，原式的值为：

$$
\iint_S ydydz + zdx dy + x dzdy = -\frac{1}{3} \pi + \pi = \frac{2}{3} \pi
$$