各类数据挖掘算法中，经常需要度量数据对象（属性）的距离和相似度，下面是几种常用的连续属性数据的度量方法。 （1）闵可夫斯基（Minkowski）距离 其中r是一个参数，n是属性/维度的数目， pk 和 qk分别是两个数据对象p和q第k个属性的值。 ①当r = 1时，称为：街区(曼哈顿, 出租车, L1 范数) 距离 ②当r = 2时，称为： 欧几里得距离（ L2 范数） ③当r ， 称为： “上确界” (Lmax , L 范数) 距离. （2）如果 d1 和 d2 是两个向量数据，那么余弦相似度 cos( d1, d2 ) = (d1 d2) / ||d1|| ||d2|| , 其中 表示向量的点积（内积）， || d || 是向量的模（长度） （3）马哈拉诺比斯（Mahalanobis）距离 其中 是输入数据X的协方差矩阵 根据上面距离和相似度的定义，在Distance.py中补充相关代码，并调试通过运行获取计算结果。 （1）实现街区距离的计算函数。（5分） （2）实现欧几里得距离的计算函数。（5分） （3）实现“上确界”距离的计算函数。（5分） （4）实现余弦相似度的计算函数。（15分）

以下是代码实现，供参考：

import numpy as np

def manhattan_distance(x1, x2):
    return np.sum(np.abs(x1 - x2))

def euclidean_distance(x1, x2):
    return np.sqrt(np.sum((x1 - x2) ** 2))

def supremum_distance(x1, x2):
    return np.max(np.abs(x1 - x2))

def cosine_similarity(x1, x2):
    dot_product = np.dot(x1, x2)
    norm_x1 = np.linalg.norm(x1)
    norm_x2 = np.linalg.norm(x2)
    return dot_product / (norm_x1 * norm_x2)

请注意，这些函数都可以同时处理多维数据，因为它们都基于NumPy数组。在调用这些函数时，只需将数据对象的值作为参数传递给函数即可。例如，对于街区距离，可以这样调用函数：

x1 = np.array([1, 2, 3])
x2 = np.array([4, 5, 6])
manhattan_distance(x1, x2)

这将返回 9，即数据对象x1和x2之间的街区距离。

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如何通过属性相似度度量来优化聚类算法的分类效果？

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参考资源链接：[数据挖掘：属性相似度与聚类方法详解](https://wenku.csdn.net/doc/1ggjkpgdr8?spm=1055.2569.3001.10343)

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参考资源链接：[数据挖掘：属性相似度与聚类方法详解](https://wenku.csdn.net/doc/1ggjkpgdr8?spm=1055.2569.3001.10343)

首先，正确选择属性相似度度量方法是至关重要的。对于标称属性，可以采用简单匹配系数；对于序数属性，可以使用序数相似度或距离；对于区间或比率属性，则广泛使用欧几里得距离或曼哈顿距离。余弦相似度在处理文档聚类时特别有效，因为它关注的是方向而不是量值大小。

在层次聚类中，可以通过构建相似度矩阵来确定不同对象间的相似度，并逐步合并最相似的对象或子集，形成聚类树。根据相似度度量的结果，可以决定合并时的阈值，这将直接影响层次聚类的结果和树的形状。对于密度聚类，相似度度量可以帮助识别核心点和边界点，从而有效地发现密集区域内的簇。

层次聚类算法中，可以通过调整分裂与凝聚策略来优化分类效果。例如，使用凝聚策略时，可以通过增加合并相似度阈值来减小簇的粒度。在密度聚类算法DBSCAN中，需要设置合适的邻域半径（ε）和最小点数（MinPts）参数，这样相似度高的对象被识别为核心对象，从而形成稳定且准确的簇。

在层次聚类和密度聚类中，噪声处理也是一个不容忽视的方面。通过引入噪声处理机制，如自动识别并处理离群点，能够提高聚类的鲁棒性。例如，在层次聚类中，可以使用异常值检测算法来识别和排除噪声数据，而在密度聚类中，可以调整参数来减少对噪声数据的敏感性。

最终，通过上述方法，结合合适的属性相似度度量，可以显著提升层次聚类和密度聚类的分类效果。在实际应用中，还需结合数据集的特点和应用场景的需求，不断调整和优化聚类策略和参数，以达到最佳的聚类效果。

为了更深入理解如何通过属性相似度度量来优化聚类算法的分类效果，建议参阅《数据挖掘：属性相似度与聚类方法详解》。这本书提供了数据挖掘中属性相似度度量和聚类分析的全面讲解，适合进一步学习和掌握相关知识。

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