3. 用动态规划解决最长公共子序列问题。 (15分)算法思想

动态规划解决最长公共子序列问题的算法思想如下：

1. 定义状态：设两个字符串分别为s1和s2，长度分别为m和n，则用dp[i][j]表示s1的前i个字符和s2的前j个字符的最长公共子序列的长度。

2. 初始化：当i=0或j=0时，dp[i][j]均为0，因为一个空字符串和另一个字符串的最长公共子序列长度为0。

3. 状态转移方程：若s1[i-1]等于s2[j-1]，则dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1，即s1和s2的第i个字符和第j个字符相同，最长公共子序列长度加1。否则，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])，即s1和s2的第i个字符和第j个字符不同，最长公共子序列为s1的前i-1个字符和s2的前j个字符的最长公共子序列与s1的前i个字符和s2的前j-1个字符的最长公共子序列的较大值。

4. 最终结果：dp[m][n]即为s1和s2的最长公共子序列的长度。

通过以上四步，可以用动态规划算法求解最长公共子序列问题。

相关问题

如何通过动态规划算法解决最长公共子序列问题，并分析其时间复杂度？请结合《动态规划求解最长公共子序列：思路、代码与全解》进行说明。

动态规划是解决最长公共子序列（LCS）问题的高效方法之一，它利用了子问题的最优解来构建原问题的最优解。在《动态规划求解最长公共子序列：思路、代码与全解》中，详细介绍了动态规划的基本思想及其在LCS问题中的应用。以下是该算法的具体实现步骤和对时间复杂度的分析：

参考资源链接：[动态规划求解最长公共子序列：思路、代码与全解](https://wenku.csdn.net/doc/f2hmtyf5v5?spm=1055.2569.3001.10343)

首先，我们需要初始化一个二维数组C，其大小为(m+1)×(n+1)，其中m和n分别是两个输入序列的长度。数组C[i][j]代表序列X的前i个元素和序列Y的前j个元素的最长公共子序列的长度。接着，我们根据以下规则填充这个数组：

1. 若X[i] == Y[j]，则C[i][j] = C[i-1][j-1] + 1。
2. 若X[i] ≠ Y[j]，则C[i][j] = max(C[i-1][j], C[i][j-1])。

为了记录每个C[i][j]值是如何计算得出的，我们还需要一个同等大小的二维数组b，用于指示搜索的方向。

在填充完C和b数组后，我们需要编写一个Find_All_LCS函数来回溯并找到所有的LCS。通过检查b[i][j]的值，我们可以确定接下来的搜索方向。如果b[i][j]等于1，表示我们需要沿着对角线方向搜索；等于2表示向上搜索；等于3表示向左搜索；等于4表示需要同时向上和向左搜索。这个过程会递归地进行，直到达到序列的开始。

关于时间复杂度的分析，每个元素C[i][j]的计算仅依赖于常数时间内的比较和最大值选择，因此计算C数组的时间复杂度为O(mn)。由于算法需要遍历整个C数组来找出所有LCS，因此总的时间复杂度也是O(mn)。这种利用动态规划避免重复计算的方式，确保了算法在最坏情况下的性能。

《动态规划求解最长公共子序列：思路、代码与全解》为理解如何使用动态规划方法解决LCS问题提供了全面的指导，从算法的基本思想到具体实现，以及如何分析时间复杂度，都做出了详尽的解释。对于希望深入了解动态规划在解决实际问题中的应用的读者来说，这是一份宝贵的资源。

参考资源链接：[动态规划求解最长公共子序列：思路、代码与全解](https://wenku.csdn.net/doc/f2hmtyf5v5?spm=1055.2569.3001.10343)