使用动态规划求解最长公共子序列算法实现

"本文将介绍如何使用动态规划方法解决最长公共子序列问题，重点解析程序逻辑及关键步骤。" 最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）是指两个序列中，不考虑元素顺序的最长的子序列。动态规划是解决这类问题的有效工具，其核心在于具备最优子结构和子问题重叠的特性。 动态规划算法的基本思想是通过构建二维数组`c`来存储两个序列`x`和`y`在某一点之前的最长公共子序列的长度。在这个例子中，`c[i][j]`表示在`x[i-1]`和`y[j-1]`之前，两序列的公共子序列长度。由于我们需要从空序列开始计算，所以`c[0][0]`初始化为0，表示没有公共子序列的长度。 接下来，通过两层循环遍历所有可能的`x`和`y`的组合，比较当前字符是否相等。如果相等，那么`c[i][j]`等于`c[i-1][j-1]`加1，表示找到了一个新的公共字符，并且两个序列都需要前进一位。如果字符不相等，我们将选择使得`c[i][j]`值较大的那个子问题作为当前子问题的解，这可以通过比较`c[i-1][j]`和`c[i][j-1]`的大小来决定。同时，`b[i][j]`数组用于记录决策路径，0表示两者都前进，-1表示`x`后退，1表示`y`后退。 在完成计算后，为了释放内存，我们需要清理动态分配的`c`和`b`数组。在本例中，使用`delete`操作符逐行删除`c`数组，最后删除整个`c`指针数组。 为了打印出最长公共子序列，我们使用回溯的方法，根据`b[i][j]`的值判断是向左上、向上还是向左移动，直到遍历到边界，此时最长公共子序列就得到了。 总结来说，动态规划解决最长公共子序列问题的关键在于构建正确的状态转移矩阵并进行有效的回溯，以找到最长公共子序列。这种方法不仅可以应用于字符串，还可以扩展到其他类型的数据结构，如数组或序列，只要满足最优子结构和子问题重叠的特性。