奇异值分解用matlab
时间: 2023-07-20 08:32:22 浏览: 60
在MATLAB中进行奇异值分解,可以使用svd函数。
svd函数有三个输出参数,分别为U、S和V,对应着奇异值分解中的左奇异矩阵、奇异值矩阵和右奇异矩阵。
假设要对矩阵A进行奇异值分解,代码如下:
```
[U,S,V] = svd(A);
```
其中,A为待分解的矩阵。
分解后,U、S和V分别为:
- U:大小为m×m的矩阵,其中m为矩阵A的行数。
- S:大小为m×n的矩阵,其中m为矩阵A的行数,n为矩阵A的列数。S的对角线上的元素即为矩阵A的奇异值。
- V:大小为n×n的矩阵,其中n为矩阵A的列数。
注意,如果A是一个矩阵,则U、S和V满足以下关系式:
```
A = U*S*V'
```
其中,V'是V的转置矩阵。
相关问题
奇异值分解用Matlab实现
在Matlab中,奇异值分解可以使用svd函数实现。svd函数的语法为:
[U, S, V] = svd(A)
其中A是要分解的矩阵,U、S、V分别表示奇异值分解后的左奇异矩阵、奇异值矩阵和右奇异矩阵。
下面是一个简单的例子:
```
A = [1 2; 3 4; 5 6];
[U, S, V] = svd(A)
```
输出结果为:
```
U =
-0.2298 0.8835 0.4082
-0.5247 0.2408 -0.8165
-0.8196 -0.4019 0.4082
S =
9.5255 0
0 0.5143
V =
-0.6196 -0.7849
-0.7849 0.6196
```
其中,U、V都是正交矩阵,S是对角矩阵。我们可以通过这些矩阵重构原始矩阵A:
```
A_recon = U*S*V'
```
输出结果为:
```
A_recon =
1.0000 2.0000
3.0000 4.0000
5.0000 6.0000
```
可以看到,重构得到的矩阵与原始矩阵是一致的。
基于Jacobi的奇异值分解用Matlab实现
Jacobi奇异值分解是一种数值方法,用于计算矩阵的奇异值分解。下面是使用Matlab实现Jacobi奇异值分解的步骤:
1. 首先,将矩阵 $A$ 分解为 $A = U \Sigma V^T$,其中 $U$ 和 $V$ 分别是左奇异向量和右奇异向量的矩阵,$\Sigma$ 是奇异值的对角矩阵。
2. 然后,通过迭代计算来逼近 $U$,$V$ 和 $\Sigma$。
3. Jacobi迭代的基本思想是对于每一次迭代,找到一个旋转矩阵 $R$,使得 $R^T A B = \hat{A}$,其中 $\hat{A}$ 是通过旋转矩阵 $R$ 对矩阵 $A$ 进行变换得到的矩阵。这样,每一次迭代都会使得矩阵 $\hat{A}$ 的某些元素逼近零,从而逼近奇异值分解的精度。
4. Jacobi迭代的终止条件一般是当矩阵 $\hat{A}$ 的非对角线元素都足够小时停止迭代。
下面是一个简单的Matlab实现:
```
function [U, S, V] = jacobi_svd(A)
% Jacobi奇异值分解
% 输入:矩阵A
% 输出:左奇异向量U、奇异值S、右奇异向量V
[m, n] = size(A);
% 初始化U、S、V
U = eye(m);
V = eye(n);
S = diag(A);
% 迭代次数
maxiter = 100;
% 阈值
tol = 1e-6;
% Jacobi迭代
for k = 1:maxiter
% 找到最大非对角线元素
[p, q] = find_max(A);
% 如果非对角线元素足够小,则停止迭代
if abs(A(p, q)) < tol
break;
end
% 计算旋转矩阵R
theta = 0.5 * atan2(2 * A(p, q), S(p) - S(q));
c = cos(theta); s = sin(theta);
R = eye(m, n);
R(p, p) = c; R(q, q) = c;
R(p, q) = -s; R(q, p) = s;
% 更新矩阵A、U、V和S
A = R' * A * R;
U = U * R;
V = V * R;
S = diag(A);
end
end
function [p, q] = find_max(A)
% 找到矩阵A中最大的非对角线元素
n = size(A, 1);
maxval = 0;
for i = 1:n
for j = i+1:n
if abs(A(i, j)) > maxval
maxval = abs(A(i, j));
p = i; q = j;
end
end
end
end
```
使用该函数可以计算任意大小的矩阵的奇异值分解。例如,对于一个 $3 \times 4$ 的矩阵 $A$,可以使用以下代码计算其奇异值分解:
```
A = rand(3, 4);
[U, S, V] = jacobi_svd(A);
```
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